Logarithmisches Mittel

In der Mathematik ist das logarithmische Mittel, also der logarithmische Mittelwert, ein bestimmter Mittelwert, der die Logarithmusfunktion verwendet.

Das logarithmische Mittel M lm {\displaystyle M_{\text{lm}}} zweier verschiedener positivreeller Zahlen x , y {\displaystyle x,y} ist gegeben durch

M lm ( x , y ) = y − x ln ⁡ y x = y − x ln ⁡ y − ln ⁡ x {\displaystyle M_{\text{lm}}(x,y)={\frac {y-x}{\ln {\frac {y}{x}}}}={\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}}

Um auch den Fall x = y {\displaystyle x=y} zu erfassen, definiert man allgemeiner

M lm ( x , y ) = lim ( ξ , η ) → ( x , y ) η − ξ ln ⁡ η − ln ⁡ ξ {\displaystyle M_{\text{lm}}(x,y)=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln \eta -\ln \xi }}}

Dann ist M lm ( x , x ) = x {\displaystyle M_{\text{lm}}(x,x)=x} .

Das logarithmische Mittel ist eine streng monoton wachsende Funktion. Ferner liegt das logarithmische Mittel zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel:

x ⋅ y < y − x ln ⁡ y − ln ⁡ x < x + y 2 {\displaystyle {\sqrt {x\cdot y}}<{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}<{\frac {x+y}{2}}} ^[1]

Diese Ungleichung gilt für x , y > 0 {\displaystyle x,y>0} .

Der Beweis stützt sich auf die grafische Veranschaulichung des zugrunde liegenden Sachverhalts (Figur 1 und Figur 2). Wegen der schon vergebenen Bezeichnungen x {\displaystyle x} und y {\displaystyle y} für die Koordinatenachsen werden hier die positiven reellen Zahlen a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} mit a < b {\displaystyle a<b} vorgegeben.^[2][3]

Aus Figur 1 resultiert der erste Beweisansatz

∫ a b 1 x d x > 2 a + b ( b − a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x>{\frac {2}{a+b}}(b-a)} .

Nach Stammfunktionsbildung folgt hieraus zunächst

ln ⁡ ( b ) − ln ⁡ ( a ) > 2 a + b ( b − a ) {\displaystyle \ln(b)-\ln(a)>{\frac {2}{a+b}}(b-a)}

und schließlich nach einer elementaren Ungleichungsoperation

a + b 2 > b − a ln ⁡ ( b ) − ln ⁡ ( a ) {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}>{\frac {b-a}{\ln(b)-\ln(a)}}} ,

womit der rechte Teil der Ungleichung bewiesen ist.

Der zweite Beweisansatz wird aus Figur 2 ersichtlich:

∫ a b 1 x d x < 1 2 ⋅ ( 1 a + 1 a b ) ⋅ ( a b − a ) + 1 2 ⋅ ( 1 b + 1 a b ) ⋅ ( b − a b ) {\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x<{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{\sqrt {ab}}}\right)\cdot \left({\sqrt {ab}}-a\right)+{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {1}{b}}+{\frac {1}{\sqrt {ab}}}\right)\cdot \left(b-{\sqrt {ab}}\right)}

Wieder ergibt sich nach Lösen des Integrals und mehreren Äquivalenzumformungen

ln ⁡ ( b ) − ln ⁡ ( a ) < b − a a b {\displaystyle \ln(b)-\ln(a)<{\frac {b-a}{\sqrt {ab}}}}

und abschließend

a b < b − a ln ⁡ ( b ) − ln ⁡ ( a ) {\displaystyle {\sqrt {ab}}<{\frac {b-a}{\ln(b)-\ln(a)}}} .

Damit ist auch der linke Teil der Ungleichung bewiesen.

• 
  Figur 1
• 
  Figur 2

Der logarithmische Mittelwert findet in diversen Wissenschaften und technischen Problemen Verwendung. Es tritt meist dann auf, wenn über treibende Gefälle gemittelt wird. Dies ist zum Beispiel bei der integralen Betrachtung von Wärme- oder Stofftransportprozessen der Fall, beispielsweise bei der verfahrenstechnischen Auslegung von Wärmetauschern oder Trennkolonnen.

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu einer differenzierbaren Funktion f : [ x , y ] → R {\displaystyle f\colon [x,y]\rightarrow \mathbb {R} } ein ξ ∈ [ x , y ] {\displaystyle \xi \in [x,y]} mit

f ′ ( ξ ) = f ( x ) − f ( y ) x − y . {\displaystyle f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}.}

Für f ( x ) = ln x {\displaystyle f(x)=\ln \,x} erhält man daraus

1 ξ = ln ⁡ x − ln ⁡ y x − y {\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}\,\,} , also ξ = x − y ln ⁡ x − ln ⁡ y {\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}} .

Das ξ {\displaystyle \xi } ist in diesem Fall also der logarithmische Mittelwert aus x {\displaystyle x} und y {\displaystyle y} .

Außerdem erhält man für die Integration

∫ 0 1 x 1 − t y t   d t = ∫ 0 1 ( y x ) t x   d t = x ∫ 0 1 ( y x ) t d t = x ln ⁡ y x ( y x ) t | t = 0 1 = x ln ⁡ y x ( y x − 1 ) = y − x ln ⁡ y − ln ⁡ x . {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\int \limits _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t&=&\int \limits _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t\\&=&x\int \limits _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}|_{t=0}^{1}\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)\\&=&{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}.\end{array}}}

Die Verallgemeinerungen des logarithmischen Mittels auf mehr als zwei Variablen wird seltener verwendet und ist uneinheitlich.

Verallgemeinert man die Idee des Mittelwertsatzes etwa ist

L M V ( x 0 , … , x n ) = ( − 1 ) ( n + 1 ) ⋅ n ⋅ ln ⁡ [ x 0 , … , x n ] − n {\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x_{0},\dots ,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}\cdot n\cdot \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}}}

wobei ln ⁡ [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]} die dividierten Differenzen des Logarithmus bezeichnen.

Für n = 2 {\displaystyle n=2} , also für drei Variablen, führt dies zu

L M V ( x , y , z ) = ( x − y ) ⋅ ( y − z ) ⋅ ( z − x ) 2 ⋅ ( ( y − z ) ⋅ ln ⁡ x + ( z − x ) ⋅ ln ⁡ y + ( x − y ) ⋅ ln ⁡ z ) {\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\cdot (y-z)\cdot (z-x)}{2\cdot ((y-z)\cdot \ln x+(z-x)\cdot \ln y+(x-y)\cdot \ln z)}}}} .

Verallgemeinert man das Integral zu

L I ( x 0 , … , x n ) = ∫ S x 0 α 0 ⋅ ⋯ ⋅ x n α n   d α {\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }

mit S = { ( α 0 , … , α n ) | α 0 + ⋯ + α n = 1   ∧   α 0 ≥ 0   ∧   …   ∧   α n ≥ 0 } {\displaystyle S=\{(\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n})|\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\ \land \ \alpha _{0}\geq 0\ \land \ \dots \ \land \ \alpha _{n}\geq 0\}} erhielte man

L I ( x 0 , … , x n ) = n ! ⋅ exp ⁡ [ ln ⁡ x 0 , … , ln ⁡ x n ] {\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=n!\cdot \exp[\ln x_{0},\dots ,\ln x_{n}]}

und als Spezialfall für drei Variablen

L I ( x , y , z ) = − 2 ⋅ x ⋅ ( ln ⁡ y − ln ⁡ z ) + y ⋅ ( ln ⁡ z − ln ⁡ x ) + z ⋅ ( ln ⁡ x − ln ⁡ y ) ( ln ⁡ x − ln ⁡ y ) ⋅ ( ln ⁡ y − ln ⁡ z ) ⋅ ( ln ⁡ z − ln ⁡ x ) {\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x,y,z)=-2\cdot {\frac {x\cdot (\ln y-\ln z)+y\cdot (\ln z-\ln x)+z\cdot (\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)\cdot (\ln y-\ln z)\cdot (\ln z-\ln x)}}} .

Das Stolarsky-Mittel etwa verallgemeinert das logarithmische Mittel.

• Horst Alzer: Ungleichungen für Mittelwerte. Archiv der Mathematik, Vol 47, Nr. 5 / Nov. 1986, doi:10.1007/BF01189983.
• A. O. Pittenger: The logarithmic mean in n variables. In: American Mathematical Monthly, 92 (1985), S. 99–104.
• Gao Jia, Jinde Cao: A New Upper Bound of the Logarithmic Mean. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4, 4, 2003, 80.

1. ↑ Eric W. Weisstein: Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean-Inequality und Napier's Inequality in MathWorld
2. ↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 142
3. ↑ Mathematics Magazine, vol. 68, no. 4 (Oct. 1995), S. 305