Legendresche Chi-Funktion

Die legendresche Chi-Funktion (nach Adrien-Marie Legendre) ist eine spezielle Funktion in der Mathematik.

Die legendresche Chi-Funktion ist folgendermaßen definiert:

χ ν ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ν . {\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.}

Sie lässt sich auch mit dem Polylogarithmus L i ν ( z ) {\displaystyle \mathrm {Li} _{\nu }(z)} ausdrücken:

χ ν ( z ) = 1 2 [ Li ν ⁡ ( z ) − Li ν ⁡ ( − z ) ] {\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right]}

χ ν ( z ) = Li ν ⁡ ( z ) − 1 2 ν Li ν ⁡ ( z 2 ) {\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\operatorname {Li} _{\nu }(z)-{\frac {1}{2^{\nu }}}\operatorname {Li} _{\nu }(z^{2})}

Die Reihendarstellungen entsprechen den geschlossenen Ausdrücken:

χ − 1 ( x ) = x ( 1 + x 2 ) ( 1 − x 2 ) 2 {\displaystyle \chi _{-1}\left(x\right)={\frac {x\left(1+x^{2}\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}}}

χ 0 ( x ) = x 1 − x 2 {\displaystyle \chi _{0}\left(x\right)={\frac {x}{1-x^{2}}}}

χ 1 ( x ) = arctanh ⁡ ( x ) = 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 1 − x ) {\displaystyle \chi _{1}(x)=\operatorname {arctanh} (x)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}

Für große ν {\displaystyle \nu } strebt die Funktion gegen x {\displaystyle x} , d. h. χ ∞ ( x ) = x {\displaystyle \chi _{\infty }(x)=x} .

Funktion für v = 2:

χ 2 ( x ) = ∑ k = 0 ∞ x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) 2 {\displaystyle \chi _{2}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)^{2}}}}

Folgende Darstellungen als Integrale hat diese Funktion:

χ 2 ( x ) = ∫ 0 1 artanh ⁡ ( x y ) y d y {\displaystyle \chi _{2}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {artanh} (xy)}{y}}\,\mathrm {d} y}

χ 2 ( x ) = ∫ 0 1 arcsin ⁡ ( x y ) 1 − y 2 d y {\displaystyle \chi _{2}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsin} (xy)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y}

Folgende Ableitung hat diese Funktion:

d d x χ 2 ( x ) = artanh ⁡ ( x ) x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\chi _{2}(x)={\frac {\operatorname {artanh} (x)}{x}}}

Es gilt folgende Ableitung:

d d y 1 x [ artanh ⁡ ( x ) − artanh ⁡ ( x 1 − y 2 1 − x 2 y 2 ) ] = y ( 1 − x 2 y 2 ) ( 1 − y 2 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,{\frac {1}{x}}{\biggl [}\operatorname {artanh} (x)-\operatorname {artanh} {\biggl (}{\frac {x\,{\sqrt {1-y^{2}}}}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}{\biggr )}{\biggr ]}={\frac {y}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}}

Deswegen gilt auch folgendes Integral:

1 x artanh ⁡ ( x ) = ∫ 0 1 y ( 1 − x 2 y 2 ) ( 1 − y 2 ) d y {\displaystyle {\frac {1}{x}}\operatorname {artanh} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {y}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,\mathrm {d} y}

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entsteht diese bereits im Definitionsabschnitt genannte Formel:

χ 2 ( x ) = ∫ 0 1 arcsin ⁡ ( x y ) 1 − y 2 d y {\displaystyle \chi _{2}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsin} (xy)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y}

Exemplarisch eingesetzt wird der Wert x = 1 {\displaystyle x=1} in die nun genannte Formel, so dass die folgende Formel entsteht:

χ 2 ( 1 ) = ∫ 0 1 arcsin ⁡ ( y ) 1 − y 2 d y = [ 1 2 arcsin ⁡ ( y ) 2 ] y = 0 y = 1 = π 2 8 {\displaystyle \chi _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsin} (y)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y={\biggl [}{\frac {1}{2}}\arcsin(y)^{2}{\biggr ]}_{y=0}^{y=1}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}

Folgende Formel dient für die Werte 0 < x < 1 zur Ermittlung der Chi-Funktionswerte:

χ 2 ( x ) + χ 2 ( 1 − x 1 + x ) = π 2 8 − 2 artanh ⁡ ( x ) artanh ⁡ ( 1 − x 1 + x ) {\displaystyle \chi _{2}(x)+\chi _{2}{\bigl (}{\frac {1-x}{1+x}}{\bigr )}={\frac {\pi ^{2}}{8}}-2\operatorname {artanh} (x)\operatorname {artanh} {\bigl (}{\frac {1-x}{1+x}}{\bigr )}}

Beispielsweise gilt:

χ 2 ( 1 2 ) + χ 2 ( 1 3 ) = π 2 8 − 2 artanh ⁡ ( 1 2 ) artanh ⁡ ( 1 3 ) {\displaystyle \chi _{2}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}+\chi _{2}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}={\frac {\pi ^{2}}{8}}-2\operatorname {artanh} {\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}\operatorname {artanh} {\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}}

Mit Hilfe genannten allgemeinen Formel für tangentielle Gegenstücke und mit Hilfe des Dilogarithmus können folgende Funktionswerte ermittelt werden:

χ 2 ( 1 ) = 1 8 π 2 χ 2 ( − 1 ) = − 1 8 π 2 χ 2 ( 2 − 1 ) = 1 16 π 2 − 1 4 [ ln ⁡ ( 2 + 1 ) ] 2 χ 2 ( Φ − 1 ) = 1 12 π 2 − 3 4 [ ln ⁡ ( Φ ) ] 2 χ 2 ( Φ − 3 ) = 1 24 π 2 − 3 4 [ ln ⁡ ( Φ ) ] 2 χ 2 ( i ) = i ⋅ G {\displaystyle {\begin{matrix}\chi _{2}(1)&=&{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\\\chi _{2}(-1)&=&-{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\\\chi _{2}({\sqrt {2}}-1)&=&{\frac {1}{16}}\pi ^{2}-{\frac {1}{4}}{\bigl [}\ln({\sqrt {2}}+1){\bigr ]}^{2}\\\chi _{2}(\Phi ^{-1})&=&{\frac {1}{12}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}{\bigl [}\ln(\Phi ){\bigr ]}^{2}\\\chi _{2}(\Phi ^{-3})&=&{\frac {1}{24}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}{\bigl [}\ln(\Phi ){\bigr ]}^{2}\\\chi _{2}(\mathrm {i} )&=&\mathrm {i} \cdot G\end{matrix}}}

mit der imaginären Einheit i {\displaystyle {\rm {i}}} , der Goldenen Zahl Φ = ( 5 + 1 ) / 2 {\displaystyle \Phi =({\sqrt {5}}+1)/2} und der catalanschen Konstanten G {\displaystyle G} .

Zu den Spezialfällen gehören die Dirichletsche Lambda-Funktion λ {\displaystyle \lambda }

λ ( n ) = χ n ( 1 ) {\displaystyle \lambda (n)=\chi _{n}(1)\,}

und die dirichletsche Beta-Funktion β {\displaystyle \beta } :

β ( n ) = 1 i χ n ( i ) . {\displaystyle \beta (n)={\frac {1}{\rm {i}}}\chi _{n}(\mathrm {i} ).}

Die transzendente lerchsche Zeta-Funktion verallgemeinert die legendresche Chi-Funktion:

χ n ( z ) = 2 − n z Φ ( z 2 , n , 1 2 ) . {\displaystyle \chi _{n}(z)=2^{-n}z\,\Phi (z^{2},n,{\tfrac {1}{2}}).}

• Hurwitzsche Zeta-Funktion

• Eric W. Weisstein: Legendre's Chi Function. In: MathWorld (englisch).
• Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Math. of Comp. 68 (1999), 1623–1630.