LR-Algorithmus

Der LR-Algorithmus, auch Treppeniteration, LR-Verfahren oder LR-Iteration, ist ein Verfahren zur Berechnung aller Eigenwerte und eventuell auch Eigenvektoren einer quadratischen Matrix und wurde 1958 vorgestellt von Heinz Rutishauser. Er ist der Vorläufer des gängigeren QR-Algorithmus von John G. F. Francis und Wera Nikolajewna Kublanowskaja. Beide basieren auf dem gleichen Prinzip der Unterraumiteration, verwenden im Detail aber unterschiedliche Matrix-Faktorisierungen, die namensgebende LR-Zerlegung bzw. QR-Zerlegung. Obwohl der LR-Algorithmus sogar einen geringeren Aufwand als der QR-Algorithmus aufweist, verwendet man heutzutage für das vollständige Eigenwertproblem eher den letzteren, da der LR-Algorithmus weniger zuverlässig ist.

Der LR-Algorithmus formt die gegebene quadratische Matrix A =: A 0 {\displaystyle A=:A_{0}} in jedem Schritt um, indem zuerst ihre LR-Zerlegung berechnet wird, sofern diese existiert, und dann deren beide Faktoren in umgekehrter Reihenfolge wieder multipliziert werden, d. h.

A 0 := A {\displaystyle A_{0}:=A}

for k = 1 , 2 , … {\displaystyle k=1,2,\ldots } do

A k − 1 =: L k R k {\displaystyle A_{k-1}=:L_{k}R_{k}} (LR-Zerlegung)

A k := R k L k {\displaystyle A_{k}:=R_{k}L_{k}}

end for

Da A k = R k L k = L k − 1 A k − 1 L k {\displaystyle A_{k}=R_{k}L_{k}=L_{k}^{-1}A_{k-1}L_{k}} ähnlich ist zu A k − 1 {\displaystyle A_{k-1}} bleiben alle Eigenwerte erhalten. Der LR-Algorithmus hat wie der QR-Algorithmus den Vorteil, am Platz durchführbar zu sein, d. h. durch Überschreiben der Matrix A {\displaystyle A} und weist im Vergleich zum QR-Algorithmus sogar geringere Kosten auf, da die bei der LR-Zerlegung verwendeten Gauß-Transformationen (vgl. Elementarmatrix) jeweils nur eine Zeile ändern, während Givens-Rotationen jeweils auf 2 Zeilen operieren. Zusätzlich sind beim LR-Algorithmus auch die vom QR-Algorithmus bekannten Maßnahmen zur Beschleunigung der Rechnung einsetzbar:

• für Hessenbergmatrizen kostet jeder LR-Schritt nur O ( n 2 ) {\displaystyle O(n^{2})} Operationen
• die Konvergenz lässt sich durch Spektralverschiebung wesentlich beschleunigen
• durch Deflation kann die Iteration auf eine Teilmatrix eingeschränkt werden, sobald sich einzelne Eigenwerte abgesondert haben.

Der entscheidende Nachteil des LR-Algorithmus besteht darin, dass die einfache LR-Zerlegung der Matrizen L k R k = A k − 1 {\displaystyle L_{k}R_{k}=A_{k-1}} eventuell nicht existiert oder durch kleine Pivotelemente zu großen Rundungsfehlern führen kann. In diesem Fall sind Zeilenvertauschungen erforderlich, welche auf eine modifizierte Zerlegung A k − 1 = P k L k R k {\displaystyle A_{k-1}=P_{k}L_{k}R_{k}} mit einer Permutationsmatrix P k {\displaystyle P_{k}} führen. Die entsprechende Modifikation des Verfahrens ist A k = R k P k L k = L k − 1 ( P k T A k − 1 P k ) L k {\displaystyle A_{k}=R_{k}P_{k}L_{k}=L_{k}^{-1}(P_{k}^{T}A_{k-1}P_{k})L_{k}} , welche wieder auf eine zu A k − 1 {\displaystyle A_{k-1}} ähnliche Matrix führt. Allerdings ist dann die Konvergenz nicht mehr gesichert, es gibt Beispiele, wo die modifizierte Iteration zur Ausgangsmatrix A = A 0 {\displaystyle A=A_{0}} zurückkehrt. Daher bevorzugt man den QR-Algorithmus, der dieses Problem nicht hat.

• Heinz Rutishauser (1958): Solution of eigenvalue problems with the LR transformation. Nat. Bur. Stand. App. Math. Ser. 49, 47–81.
• J. G. F. Francis (1961): The QR Transformation: A Unitary Analogue to the LR Transformation—Part 1. The Computer Journal Vol. 4(3), S. 265–271. doi:10.1093/comjnl/4.3.265
• Josef Stoer, Roland Bulirsch: Numerische Mathematik 2. 5. Auflage, Springer-Verlag Berlin 2005, ISBN 978-3-540-23777-8.