Komplex-hyperbolischer Raum

Der komplex-hyperbolische Raum ist in der Mathematik ein Beispiel für einen negativ gekrümmten symmetrischen Raum, dessen Krümmung – anders als beim hyperbolischen Raum – nicht konstant ist.

Sei C n , 1 {\displaystyle \mathbb {C} ^{n,1}} der Vektorraum C n + 1 {\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}} mit der Hermiteschen Form

⟨ U , V ⟩ = − u n + 1 v ¯ n + 1 + ∑ j = 1 n u j v ¯ j {\displaystyle \langle U,V\rangle =-u_{n+1}{\overline {v}}_{n+1}+\sum _{j=1}^{n}u_{j}{\overline {v}}_{j}}

für U = ( u 1 , … , u n + 1 ) , V = ( v 1 , … , v n + 1 ) {\displaystyle U=(u_{1},\ldots ,u_{n+1}),V=(v_{1},\ldots ,v_{n+1})} .

Der n-dimensionale komplex-hyperbolische Raum C H n {\displaystyle \mathbb {C} H^{n}} ist

C H n = { X ∈ C n , 1 : ⟨ X , X ⟩ = − 1 } {\displaystyle \mathbb {C} H^{n}=\left\{X\in \mathbb {C} ^{n,1}:\langle X,X\rangle =-1\right\}}

mit der von der Hermiteschen Form ⟨ . , . ⟩ {\displaystyle \langle .,.\rangle } induzierten riemannschen Metrik.

C H n {\displaystyle \mathbb {C} H^{n}} ist isometrisch zum homogenen Raum

S U ( n , 1 ) / S ( U ( n ) × U ( 1 ) ) {\displaystyle SU(n,1)/S(U(n)\times U(1))} .

Es ist ein symmetrischer Raum vom Rang 1.

Für die Schnittkrümmung von Ebenen im C H n {\displaystyle \mathbb {C} H^{n}} gilt die Ungleichung − 4 ≤ K ≤ − 1 {\displaystyle -4\leq K\leq -1} . Ebenen in R H n ⊂ C H n {\displaystyle \mathbb {R} H^{n}\subset \mathbb {C} H^{n}} haben Schnittkrümmung − 1 {\displaystyle -1} , während die Ebene C H 1 ⊂ C H n {\displaystyle \mathbb {C} H^{1}\subset \mathbb {C} H^{n}} die Schnittkrümmung − 4 {\displaystyle -4} hat.

Der Rand im Unendlichen ∂ ∞ C H n {\displaystyle \partial _{\infty }\mathbb {C} H^{n}} ist homöomorph zur S 2 n − 1 {\displaystyle S^{2n-1}} . Horosphären sind isometrisch zur Heisenberggruppe.

Eine Isometrie von C H n {\displaystyle \mathbb {C} H^{n}} heißt elliptisch, wenn sie einen Fixpunkt in C H n {\displaystyle \mathbb {C} H^{n}} hat, parabolisch, wenn sie einen eindeutigen Fixpunkt in ∂ ∞ C H n {\displaystyle \partial _{\infty }\mathbb {C} H^{n}} hat, und loxodromisch, wenn sie zwei Fixpunkte in ∂ ∞ C H n {\displaystyle \partial _{\infty }\mathbb {C} H^{n}} hat.

Loxodromische Isometrien werden durch Matrizen A ∈ S U ( n , 1 ) {\displaystyle A\in SU(n,1)} mit jeweils mindestens einem Eigenwert vom Betrag kleiner bzw. größer 1 repräsentiert. Eine loxodromische Isometrie heißt strikt hyperbolisch, wenn sie durch eine Matrix A ∈ S U ( n , 1 ) {\displaystyle A\in SU(n,1)} mit reellen Eigenwerten repräsentiert wird, schwach hyperbolisch sonst.

Parabolische Isometrien sind entweder unipotent, d. h. werden durch eine Matrix A ∈ S U ( n , 1 ) {\displaystyle A\in SU(n,1)} repräsentiert, deren Eigenwerte alle 1 sind, oder ellipto-parabolisch, in diesem Fall gibt es eine eindeutige komplexe Geodäte, auf der die Isometrie als parabolische Isometrie von C H 1 ≃ H 2 {\displaystyle \mathbb {C} H^{1}\simeq H^{2}} wirkt.

Eine Isometrie ist genau dann elliptisch, wenn sie eine zyklische Gruppe mit kompaktem Abschluss erzeugt. Sie heißt regulär elliptisch, wenn alle Eigenwerte einer repräsentierenden Matrix A ∈ S U ( n , 1 ) {\displaystyle A\in SU(n,1)} verschieden sind.

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt komplex-hyperbolisch, wenn ihre universelle Überlagerung isometrisch zum C H n {\displaystyle \mathbb {C} H^{n}} ist.

In der algebraischen Geometrie werden komplexe Mannigfaltigkeiten als Ballquotienten bezeichnet, wenn ihre universelle Überlagerung biholomorph zum C H n {\displaystyle \mathbb {C} H^{n}} ist.

• Goldman, William M.: Complex hyperbolic geometry. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1999. xx+316 S. ISBN 0-19-853793-X
• David Epstein: Complex hyperbolic geometry. Analytical and geometric aspects of hyperbolic space (Coventry/Durham, 1984), S. 93–111, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 111, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987.