Johnson-Algorithmus

Der Johnson-Algorithmus ist ein Optimierungsverfahren für Warteschlangen, das 1954 von Selmer M. Johnson vorgestellt wurde. Es findet unter anderem bei der Reihenfolgeplanung zur Bestimmung der minimalen Zykluszeit in der Produktionswirtschaft Anwendung.

Der Johnson-Algorithmus liefert eine hinsichtlich der Zykluszeit optimale Reihenfolge von unbestimmt vielen Aufträgen, die jeweils auf genau zwei Maschinen nacheinander bearbeitet werden sollen. Der Algorithmus lässt sich auf mehr als zwei Maschinen verallgemeinern, indem Hilfsprobleme erzeugt werden.

Es existiert ein Stapel mit unbestimmt vielen Aufträgen A n {\displaystyle A_{n}} , die in einer optimalen Reihenfolge bezüglich der Zykluszeit auf genau zwei Maschinen / Prozessoren M j {\displaystyle M_{j}} nacheinander bearbeitet werden sollen.

Beispiel: Fünf Aufträge mit unterschiedlichen Bearbeitungszeiten sollen Zykluszeit-optimal jeweils zuerst auf der Maschine M 1 {\displaystyle M_{1}} und danach auf der Maschine M 2 {\displaystyle M_{2}} bearbeitet werden. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel Zeit (in ZE) ein Auftrag A_i auf einer Maschine M j {\displaystyle M_{j}} benötigt.

	A1	A2	A3	A4	A5
M1	14	12	7	13	11
M2	4	13	8	9	14

Das Problem kann mit folgender iterativer Vorschrift gelöst werden:

1. Suche den Auftrag A_i mit der absolut kürzesten Bearbeitungszeit
2. Entscheide:
   • Falls j = 1 {\displaystyle j=1} : Ordne den Auftrag A i {\displaystyle A_{i}} so weit vorn wie möglich in der Reihenfolge an
   • Falls j = 2 {\displaystyle j=2} : Ordne den Auftrag A i {\displaystyle A_{i}} so weit hinten wie möglich in der Reihenfolge an
3. fahre fort bei 1. solange bis jeder Auftrag zugeordnet ist.

Der Johnson-Algorithmus sucht sich jetzt den kürzesten Auftrag, also A 1 {\displaystyle A_{1}} mit 4 ZE. Da A 1 {\displaystyle A_{1}} auf M 2 ( j = 2 ) {\displaystyle M_{2}(j=2)} am wenigsten Zeit benötigt, wird er in der neuen Reihenfolge so weit wie möglich hinten eingeordnet.

Der nächst-kürzeste Auftrag ist A 3 {\displaystyle A_{3}} mit 7 ZE. Da A 3 {\displaystyle A_{3}} auf M 1 {\displaystyle M_{1}} am wenigsten Zeit benötigt, wird er in der neuen Reihenfolge so weit vorn wie möglich eingeordnet usw.

Im Folgenden wird der Algorithmus anhand eines Beispiels demonstriert. Die Formatierungen haben folgende Bedeutung:

als kürzeste Laufzeit identifizierter Wert

bereits sequenzierter Auftrag

Der Startzustand umfasst eine zufällige Auftragsreihenfolge:

x	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
M1	12	7	4	3	10	5	6	7
M2	8	6	9	6	2	8	9	7

Zustand 1:

x	A1	A2	A3	A4	A6	A7	A8	A5
M1	12	7	4	3	5	6	7	10
M2	8	6	9	6	8	9	7	2

Zustand 2:

x	A4	A1	A2	A3	A6	A7	A8	A5
M1	3	12	7	4	5	6	7	10
M2	6	8	6	9	8	9	7	2

Zustand 3:

x	A4	A3	A1	A2	A6	A7	A8	A5
M1	3	4	12	7	5	6	7	10
M2	6	9	8	6	8	9	7	2

Zustand 4:

x	A4	A3	A6	A1	A2	A7	A8	A5
M1	3	4	5	12	7	6	7	10
M2	6	9	8	8	6	9	7	2

Zustand 5:

x	A4	A3	A6	A7	A1	A2	A8	A5
M1	3	4	5	6	12	7	7	10
M2	6	9	8	9	8	6	7	2

Zustand 6 (Endzustand a):

x	A4	A3	A6	A7	A1	A8	A2	A5
M1	3	4	5	6	12	7	7	10
M2	6	9	8	9	8	7	6	2

Anmerkung: Hier wäre der Algorithmus theoretisch schon zu Ende, bei einer Implementierung kann jedoch noch ein weiterer Zustand aufgrund verschiedener Elementsgrößenüberprüfung angezeigt werden.

Zustand 7 (Endzustand b):

x	A4	A3	A6	A7	A8	A1	A2	A5
M1	3	4	5	6	7	12	7	10
M2	6	9	8	9	7	8	6	2

Es gibt bei diesem Beispiel somit 2 richtige Ergebnisse.

1. Bilde eine Gruppe von Aufträgen mit Bearbeitungszeit, die auf der ersten Maschine kürzer sind, als auf der zweiten.
   • Sortiere diese Gruppe aufsteigend nach der Bearbeitungszeit auf Maschine 1.
2. Bilde eine zweite Gruppe mit restlichen Aufträgen.
   • Sortiere sie absteigend nach der Bearbeitungszeit auf Maschine 2.

Die Aufträge A 2 ( M 1 = 12 ) , A 3 ( M 1 = 7 ) , A 5 ( M 1 = 11 ) {\displaystyle A_{2}(M_{1}=12),A_{3}(M_{1}=7),A_{5}(M_{1}=11)} bilden die erste Gruppe. Die Sortierung nach der kürzesten Bearbeitungsdauer auf der Maschine M₁ ergibt den ersten Teil der Lösung: A 3 → A 5 → A 2 {\displaystyle A_{3}\to A_{5}\to A_{2}} .

Die zweite Gruppe enthält die Aufträge A 1 ( M 2 = 4 ) , A 4 ( M 2 = 9 ) {\displaystyle A_{1}(M_{2}=4),A_{4}(M_{2}=9)} . Die Sortierung nach der längsten Bearbeitungsdauer auf der Maschine M 2 {\displaystyle M_{2}} ergibt den zweiten Teil der Lösung: A 4 → A 1 {\displaystyle A_{4}\to A_{1}} .

Die durchlaufzeitoptimale Reihenfolge für dieses Beispiel ist demnach: A 3 → A 5 → A 2 → A 4 → A 1 {\displaystyle A_{3}\to A_{5}\to A_{2}\to A_{4}\to A_{1}} . Die Abbildung „Optimale Maschinenbelegung“ stellt die optimale Lösung grafisch dar.

• Selmer Martin Johnson: Optimal two- and three-stage production schedules with setup times included. In: Naval Research Logistics Quarterly, vol. 1, iss. 1, 1954, S. 61–68.

• Johnson's Algorithm For Scheduling Ajay Joneja, The Hong Kong University of Science and Technology