Inversion (Logik)

In der Logik bezeichnet die Inversion einen unmittelbaren Schluss durch Negation von Antezedens und Sukzedens in einem Konditional bzw. von Subjekt und Prädikat in einem kategorialen Satz. Das Inverse eines Konditionals der Form $P\to Q$ ist somit der Satz $\neg P\to \neg Q$ . Da Inverses und Konverses eines Konditionals durch Kontraposition auseinander hervorgehen, sind Inversion und Konversion logisch äquivalent.

Werden sprachliche Propositionen anstelle logischer Variablen eingesetzt, so ist zum Beispiel das Inverse des Konditionals

„Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.“

der Satz

„Wenn es nicht regnet, dann ist die Straße nicht nass.“

Das Inverse des Inversen eines Konditionals $P\to Q$ , also das Inverse des Satzes $\neg P\to \neg Q$ , ist der Satz $\neg \neg P\to \neg \neg Q$ und weil die doppelte Negation einer Aussage immer äquivalent zur ursprünglichen Aussage ist, ist das Inverse des Inversen eines Konditionals logisch äquivalent zum ursprünglichen Konditional. Die Sätze $P\to Q$ und $\neg P\to \neg Q$ , sowie die Sätze $\neg P\to Q$ und $P\to \neg Q$ können deshalb jeweils als Inverse voneinander gesehen werden. Die Inversion eines Konditionals ist damit eine Involution.

Genau wie ein Konditional und sein Kontrapositiv logisch äquivalent sind, sind auch Inverses und Konverses eines Konditionals logisch äquivalent. Jedoch kann von einem Konditional nicht auf sein Inverses (bzw. Konverses) geschlossen werden (beispielsweise kann ein Konditional wahr sein, seine Inverses jedoch falsch). Dies wäre ein Inversionsfehlschluss. Zum Beispiel kann der Satz

„Wenn es nicht sechs Uhr ist, dann klingelt mein Wecker nicht“

nicht aus dem Satz

„Wenn es sechs Uhr ist, dann klingelt mein Wecker“

gefolgert werden, weil es im Fall, dass es nicht sechs Uhr ist, möglicherweise weitere Bedingungen gibt, die zum Klingeln des Weckers führen, zum Beispiel:

„Wenn es nicht sechs Uhr ist und ich meinen Wecker aber um sechs Uhr nicht ausgeschaltet habe, dann klingelt mein Wecker.“

In der traditionellen Logik, in der es vier Formen kategorischer Urteile gibt, können nur A-Urteile („Alle S sind P“) und E-Urteile („Kein S ist P“) invertiert werden. Um diese kategorischen Urteile zu invertieren, müssen Subjekt und Prädikat jeweils negiert und das allgemeine Urteil in ein partikuläres Urteil umgewandelt werden.^[1]

„Alle S sind P“ (A-Urteil) wird zu „Einige nicht-S sind nicht-P“ (I-Urteil)
„Kein S ist P“ (E-Urteil) wird zu „Einige nicht-S sind nicht nicht-P“ (O-Urteil)

Hierbei wird insbesondere vorausgesetzt, dass Subjekt und Prädikat sowie deren Negationen nicht leer sind.

Beispiele für gültige Inversionen

„Alle Schwimmer haben eine Badehose“ wird zu „Einige Nichtschwimmer haben keine Badehose“
„Kein Mensch, der in Hannover lebt, lebt in München“ wird zu „Einige Menschen, die nicht in Hannover leben, leben in München“ (bzw. „Einige Menschen, die nicht in Hannover leben, leben nicht nicht in München“)

Beispiele für ungültige Inversionen

„Kein Berg in Asien ist höher als der Mount Everest“ wird zu „Einige Berge außerhalb Asiens sind höher als der Mount Everest“ → ungültig, weil die Klasse aller Berge, die höher als der Mount Everest sind, leer ist (Mount Everest ist der höchste Berg der Erde)
„Alle negativen natürlichen Zahlen sind farblos“ wird zu „Einige nichtnegative natürliche Zahlen sind farbig“ → ungültig, weil die Menge der negativen natürlichen Zahlen leer ist (natürliche Zahlen sind definitionsgemäß nichtnegativ), sodass das logische Prädikat im ersten Satz beliebig gewählt werden kann

„Alle Lebewesen, die Stoffwechsel betreiben, vermehren sich“ wird zu „Einige Lebewesen, die keinen Stoffwechsel betreiben, vermehren sich nicht“ → ungültig, weil die Klasse aller Lebewesen, die keinen Stoffwechsel betreiben, leer ist (jedes Lebewesen betreibt definitionsgemäß Stoffwechsel)

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ Toohey, John Joseph. An Elementary Handbook of Logic. Schwartz, Kirwin and Fauss, 1918

[1] Toohey, John Joseph. An Elementary Handbook of Logic. Schwartz, Kirwin and Fauss, 1918

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