Invariant Random Subgroup

Invariant Random Subgroup (IRS) ist ein Begriff aus der Mathematik. Diese Terminologie wurde von Abért, Glasner und Virág in einer 2014 erschienenen Arbeit eingeführt.^[1]

Sei G {\displaystyle G} eine topologische Gruppe, S u b ( G ) {\displaystyle Sub(G)} der Raum der abgeschlossenen Untergruppen mit der Chabauty-Topologie. Eine invariant random subgroup ist ein Borelsches Wahrscheinlichkeitsmaß auf S u b ( G ) {\displaystyle Sub(G)} , dass unter der Konjugationswirkung von G {\displaystyle G} auf S u b ( G ) {\displaystyle Sub(G)} invariant ist.

Der Raum aller solchen Maße mit der schwachen Topologie wird mit I R S ( G ) {\displaystyle IRS(G)} bezeichnet.

• Wenn N {\displaystyle N} ein Normalteiler ist, ist das Dirac-Maß δ N {\displaystyle \delta _{N}} eine IRS.
• Wenn Γ ⊂ G {\displaystyle \Gamma \subset G} ein Gitter ist, erhält man mittels der Abbildung Γ g ∈ Γ ∖ G → g − 1 Γ g ∈ S u b ( G ) {\displaystyle \Gamma g\in \Gamma \backslash G\to g^{-1}\Gamma g\in Sub(G)} durch Push-Forward des auf Γ ⊂ G {\displaystyle \Gamma \subset G} auf Volumen 1 {\displaystyle 1} normierten Haar-Maßes eine IRS auf G {\displaystyle G} , die mit μ Γ {\displaystyle \mu _{\Gamma }} bezeichnet wird.

Sei G {\displaystyle G} eine zusammenhängende, halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor und mit trivialem Zentrum, sei K ⊂ G {\displaystyle K\subset G} eine maximal kompakte Untergruppe und X = G / K {\displaystyle X=G/K} der symmetrische Raum. Dann sind für eine Folge von Gittern Γ n ⊂ G {\displaystyle \Gamma _{n}\subset G} äquivalent:

• Die Folge Γ n ∖ X {\displaystyle \Gamma _{n}\backslash X} BS-konvergiert gegen X {\displaystyle X} .
• Die Folge μ Γ n {\displaystyle \mu _{\Gamma _{n}}} konvergiert in I R S ( G ) {\displaystyle IRS(G)} gegen das Dirac-Maß auf der trivialen Untergruppe { 1 } {\displaystyle \left\{1\right\}} .

Sei G {\displaystyle G} eine nicht-kompakte, einfache Lie-Gruppe mit trivialem Zentrum und r a n k R ( G ) ≥ 2 {\displaystyle rank_{\mathbb {R} }(G)\geq 2} . Dann folgt aus dem Satz von Nevo-Stuck-Zimmer, dass alle IRS entweder μ Γ {\displaystyle \mu _{\Gamma }} für ein Gitter Γ {\displaystyle \Gamma } oder μ i d {\displaystyle \mu _{id}} oder μ G {\displaystyle \mu _{G}} sind.

Dagegen gibt es für nicht-kompakte, einfache Lie-Gruppen mit trivialem Zentrum und r a n k R ( G ) = 1 {\displaystyle rank_{\mathbb {R} }(G)=1} zahlreiche „exotische“ IRS.

• Clara Löh: Ergodic Theoretic Methods in Group Homology. A Minicourse on L²-Betti Numbers in Group Theory (= SpringerBriefs in Mathematics.). Springer Nature, Cham 2020, ISBN 978-3-030-44219-4.
• Miklos Abert, Nicolas Bergeron, Ian Biringer, Tsachik Gelander, Nikolay Nikolov, Jean Raimbault, Iddo Samet: On the growth of L²-invariants for sequences of lattices in Lie groups. In: Annals of Mathematics. Serie 2, Band 185, Nummer 3, 2017, S. 711–790 JSTOR:26395741.

1. ↑ Miklós Abért, Yair Glasner, Bálint Virág: Kesten’s theorem for invariant random subgroups. In: Duke Math. J. 163. Jahrgang, Nr. 3, 2014, S. 465–488 (englisch).