Homomorphismus

Als Homomorphismus (von altgriechisch ὁμός homós „gleich“ und μορφή morphé „Form, Gestalt“; nicht zu verwechseln mit Homöomorphismus) werden in der Mathematik Abbildungen bezeichnet, die eine (oft algebraische) mathematische Struktur erhalten bzw. damit verträglich (strukturtreu) sind. Ein Homomorphismus bildet die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge ab, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Struktur ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Struktur der Ausgangsmenge verhalten.

Es seien A = ( A , ( f i ) i ∈ I ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}=(A,(f_{i})_{i\in I})} und B = ( B , ( g i ) i ∈ I ) {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=(B,(g_{i})_{i\in I})} zwei algebraische Strukturen vom gleichen Typ σ = ( m i ) i ∈ I , {\displaystyle \sigma =(m_{i})_{i\in I},} so dass für jedes i {\displaystyle i} die Zahl m i ∈ N 0 {\displaystyle m_{i}\in \mathbb {N} _{0}} die (übereinstimmende) Stelligkeit der fundamentalen Operationen f i {\displaystyle f_{i}} und g i {\displaystyle g_{i}} bezeichnet.^[1] Eine Abbildung φ : A → B {\displaystyle \varphi \colon A\to B} heißt Homomorphismus von A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} nach B , {\displaystyle {\boldsymbol {B}},} wenn für jedes i {\displaystyle i} und für alle a 1 , … , a m i ∈ A {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m_{i}}\in A} gilt:^[2]

φ ( f i ( a 1 , … , a m i ) ) = g i ( φ ( a 1 ) , … , φ ( a m i ) ) {\displaystyle \varphi (f_{i}(a_{1},\ldots ,a_{m_{i}}))=g_{i}(\varphi (a_{1}),\ldots ,\varphi (a_{m_{i}}))} .

Klassisches Beispiel von Homomorphismen sind Homomorphismen zwischen Gruppen. Gegeben seien zwei Gruppen ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} und ( H , ⋆ ) . {\displaystyle (H,\star ).} Eine Funktion

ϕ : G → H {\displaystyle \phi \colon G\to H}

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente g 1 , g 2 ∈ G {\displaystyle g_{1},g_{2}\in G} gilt:

ϕ ( g 1 ∗ g 2 ) = ϕ ( g 1 ) ⋆ ϕ ( g 2 ) . {\displaystyle \phi (g_{1}*g_{2})=\phi (g_{1})\star \phi (g_{2}).}

Aus dieser Bedingung folgt unmittelbar, dass

ϕ ( e G ) = e H {\displaystyle \phi (e_{G})=e_{H}}

für die neutralen Elemente e G ∈ G , e H ∈ H {\displaystyle e_{G}\in G,e_{H}\in H} und dann

ϕ ( g − 1 ) = ϕ ( g ) − 1 {\displaystyle \phi (g^{-1})=\phi (g)^{-1}}

für alle g ∈ G {\displaystyle g\in G} gelten muss sowie, mittels vollständiger Induktion, dass

ϕ ( g 1 ∗ … ∗ g n ) = ϕ ( g 1 ) ⋆ … ⋆ ϕ ( g n ) {\displaystyle \phi (g_{1}*\ldots *g_{n})=\phi (g_{1})\star \ldots \star \phi (g_{n})}

für eine beliebige endliche Anzahl von Faktoren gilt.

An diesem Beispiel orientieren sich die Definitionen der Homomorphismen verschiedener algebraischer Strukturen:

• Gruppenhomomorphismus
• Ringhomomorphismus
• Körperhomomorphismus
• Vektorraumhomomorphismus (Lineare Abbildung)
• Auswertungshomomorphismus der Termalgebra
• Modulhomomorphismus
• Algebrenhomomorphismus
• Lie-Algebren-Homomorphismus

Wir formulieren im Folgenden einige grundlegende Eigenschaften von Homomorphismen von Gruppen, die analog auch für die Homomorphismen der anderen algebraischen Strukturen gelten.

Wenn ϕ : G → H {\displaystyle \phi \colon G\to H} und ψ : H → J {\displaystyle \psi \colon H\to J} Homomorphismen sind, dann ist auch die durch

( ψ ∘ ϕ ) ( g ) := ψ ( ϕ ( g ) ) {\displaystyle (\psi \circ \phi )(g):=\psi (\phi (g))} für alle g ∈ G {\displaystyle g\in G}

definierte Abbildung ψ ∘ ϕ : G → J {\displaystyle \psi \circ \phi \colon G\to J} ein Homomorphismus.

Wenn ϕ : G → H {\displaystyle \phi \colon G\to H} ein Homomorphismus ist, dann ist für jede Untergruppe U ⊆ G {\displaystyle U\subseteq G} auch

ϕ ( U ) := { ϕ ( g ) ∣ g ∈ U } , {\displaystyle \phi (U):=\left\{\phi (g)\mid g\in U\right\},}

genannt das Bild von U {\displaystyle U} unter ϕ {\displaystyle \phi } , eine Untergruppe von H {\displaystyle H} . Speziell wird die Untergruppe

Bild ⁡ ( ϕ ) := ϕ ( G ) ⊆ H {\displaystyle \operatorname {Bild} (\phi ):=\phi (G)\subseteq H}

als Bild von ϕ {\displaystyle \phi } bezeichnet. Weiterhin ist für jede Untergruppe V ⊆ H {\displaystyle V\subseteq H} auch

ϕ − 1 [ V ] := ϕ − 1 ( V ) := { g ∈ G ∣ ϕ ( g ) ∈ V } , {\displaystyle \phi ^{-1}[V]:=\phi ^{-1}(V):=\left\{g\in G\mid \phi (g)\in V\right\},}

genannt das Urbild von V {\displaystyle V} unter ϕ {\displaystyle \phi } , eine Untergruppe von G {\displaystyle G} . Das Urbild der trivialen Gruppe, d. i. die Untergruppe

Kern ⁡ ( ϕ ) := ϕ − 1 ( e H ) := ϕ − 1 [ { e H } ] ⊆ G , {\displaystyle \operatorname {Kern} (\phi ):=\phi ^{-1}(e_{H}):=\phi ^{-1}[\{e_{H}\}]\subseteq G,}

wird als Kern von ϕ {\displaystyle \phi } bezeichnet. Sie ist sogar ein Normalteiler.

Falls ϕ : G → H {\displaystyle \phi \colon G\to H} ein bijektiver Homomorphismus ist, dann ist auch ϕ − 1 : H → G {\displaystyle \phi ^{-1}\colon H\to G} ein Homomorphismus. Man sagt in diesem Fall, dass ϕ {\displaystyle \phi } und ϕ − 1 {\displaystyle \phi ^{-1}} Isomorphismen sind.^[3]

Wenn ϕ : G → H {\displaystyle \phi \colon G\to H} ein Homomorphismus ist, dann induziert ϕ {\displaystyle \phi } einen Isomorphismus

G / Kern ⁡ ( ϕ ) ≅ Bild ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle G/\operatorname {Kern} (\phi )\cong \operatorname {Bild} (\phi )}

der Quotientengruppe G / Kern ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle G/\operatorname {Kern} (\phi )} auf Bild ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle \operatorname {Bild} (\phi )} .

Auch außerhalb der Algebra werden strukturerhaltende Abbildungen oft als Homomorphismen bezeichnet. Die meisten dieser Verwendungen des Begriffs Homomorphismus, einschließlich der oben aufgeführten algebraischen Strukturen, lassen sich unter der folgenden Definition subsumieren.^[4]

Es seien A = ( A , ( R i ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}=(A,(R_{i}))} und B = ( B , ( S i ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=(B,(S_{i}))} zwei relationale Strukturen vom gleichen Typ ( n i ) , {\displaystyle (n_{i}),} sodass n i ∈ N {\displaystyle n_{i}\in \mathbb {N} } für jedes i {\displaystyle i} die Stelligkeit der Relationen R i {\displaystyle R_{i}} und S i {\displaystyle S_{i}} bezeichnet. Eine Abbildung φ : A → B {\displaystyle \varphi \colon A\to B} heißt dann eine homomorphe Abbildung, eine Homomorphie oder ein Homomorphismus von A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} nach B , {\displaystyle {\boldsymbol {B}},} wenn sie für jedes i {\displaystyle i} und für alle a 1 , … , a n i ∈ A {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n_{i}}\in A} die folgende Verträglichkeitseigenschaft besitzt:^[5]

( a 1 , … , a n i ) ∈ R i ⇒ ( φ ( a 1 ) , … , φ ( a n i ) ) ∈ S i . {\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})\in R_{i}\Rightarrow (\varphi (a_{1}),\ldots ,\varphi (a_{n_{i}}))\in S_{i}.}

Schreibweise:

φ : A → B . {\displaystyle \varphi \colon {\boldsymbol {A}}\to {\boldsymbol {B}}.}

Da jede Funktion f : A n → A {\displaystyle f\colon A^{n}\to A} als Relation f ⊂ A n + 1 {\displaystyle f\subset A^{n+1}} beschrieben werden kann, lässt sich jede algebraische Struktur als relationale Struktur auffassen und die spezielle algebraische Definition ist somit in dieser Definition enthalten.

Hat man in obiger Definition bei einem injektiven Homomorphismus sogar die Äquivalenz

( a 1 , … , a n i ) ∈ R i ⇔ ( φ ( a 1 ) , … , φ ( a n i ) ) ∈ S i {\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})\in R_{i}\Leftrightarrow (\varphi (a_{1}),\ldots ,\varphi (a_{n_{i}}))\in S_{i}} ,

so spricht man von einem starken Homomorphismus.^[6]

• Homomorphismen algebraischer Strukturen (diese sind auch stets starke Homomorphismen)
• Ordnungshomomorphismus
• Graphenhomomorphismus
• Homomorphismen in der Inzidenzgeometrie, zum Beispiel Homomorphismus projektiver Räume
• Homomorphismus zwischen Modellen^[7]

Auch Abbildungen, die verträglich sind mit Strukturen, die unendlichstellige Operationen besitzen, werden Homomorphismus genannt:

• ein vollständiger Verbandshomomorphismus ist verträglich mit beliebigen (auch unendlichen) Vereinigungen und Durchschnitten

In einigen Teilgebieten der Mathematik beinhaltet der Begriff des Homomorphismus, dass die Verträglichkeit noch weitere Zusatzstrukturen umfasst:

• ein Homomorphismus topologischer Gruppen ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus
• ein Lie-Gruppen-Homomorphismus ist ein glatter Gruppenhomomorphismus zwischen Lie-Gruppen^[8]

Der Begriff erfährt auch eine Verallgemeinerung für heterogene Algebren, siehe Heterogene Algebra: Homomorphismen.

• Morphismus (Kategorientheorie)
• Verträglichkeit (Mathematik)
• Epimorphismus
• Monomorphismus
• Isomorphismus
• Einbettung
• Endomorphismus
• Automorphismus
• Subquotient

• Serge Lang: Algebra. (= Graduate Texts in Mathematics. 211). 3., überarb. Auflage. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X.
• Nathan Jacobson: Basic algebra. I. 2. Auflage. W. H. Freeman and Company, New York 1985, ISBN 0-7167-1480-9.
• Thomas W. Hungerford: Algebra. (= Graduate Texts in Mathematics. 73). Springer-Verlag, New York / Berlin 1980, ISBN 0-387-90518-9. (Nachdruck der Ausgabe 1974)
• Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3. Auflage. AMS, Providence (RI) 1973, ISBN 0-8218-1025-1, S. 134–136. 
• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01638-8, S. 112–113. 
• Helmuth Gericke: Theorie der Verbände. Bibliographisches Institut, Mannheim 1963, S. 55–62, 147. 
• George Grätzer: Universal Algebra. 2., aktualisierte Auflage. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-77486-2, S. 223–224, doi:10.1007/978-0-387-77487-9 (Erstausgabe: 1979). 
• Gunther Schmidt, Thomas Ströhlein: Relationen und Graphen. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1989, ISBN 3-540-50304-8, S. 144–153. 
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. Band 1: Moderne Algebra. Springer, Berlin / Göttingen / Heidelberg / New York 1971, ISBN 3-540-03561-3, S. 27–30. 
• Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8, S. 48, 19. 

1. ↑ Jede m {\displaystyle m} -stellige Operation ist eine spezielle m + 1 {\displaystyle m+1} -stellige homogene Relation (Funktion).
2. ↑ Diese Definition ist mit der unten gegebenen verträglich, wenn man von einer Funktion f i {\displaystyle f_{i}} zur Relation R i {\displaystyle R_{i}} , die durch den Funktionsgraph gegeben ist, übergeht, denn dann gilt

   f i ( a 1 , … , a m i ) = a ⇔ ( a 1 , … , a m i , a ) ∈ R i {\displaystyle f_{i}(a_{1},\ldots ,a_{m_{i}})=a\Leftrightarrow (a_{1},\ldots ,a_{m_{i}},a)\in R_{i}} ,

   und genauso für ( B , ( g i ) ) {\displaystyle (B,(g_{i}))} .
3. ↑ Die Urbildfunktion ϕ − 1 {\displaystyle \phi ^{-1}} , die auf Mengen operiert, und die inverse Abbildung ϕ − 1 {\displaystyle \phi ^{-1}} , die auf Elementen operiert, sind streng genommen 2 verschiedene Funktionen. Sind Missverständnisse zu befürchten, dann setzt man im ersteren Fall die Mengen in eckige Klammern [ ] {\displaystyle [\;]} .
4. ↑ Eine allgemeine Definition wurde im klassischen Lehrbuch Moderne Algebra angegeben: „Wenn in zwei Mengen M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} und N {\displaystyle {\mathfrak {N}}} gewisse Relationen (wie a < b {\displaystyle a<b} oder a b = c {\displaystyle ab=c} ) definiert sind und wenn jedem Element a {\displaystyle a} von M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} ein Bildelement a ¯ = φ a {\displaystyle {\bar {a}}=\varphi a} so zugeordnet ist, daß alle Relationen zwischen Elementen von M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} auch für die Bildelemente gelten (so daß z. B. aus a < b {\displaystyle a<b} folgt a ¯ < b ¯ , {\displaystyle {\bar {a}}<{\bar {b}},} wenn es sich um die Relation < {\displaystyle <} handelt), so heißt φ {\displaystyle \varphi } eine homomorphe Abbildung oder ein Homomorphismus von M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} in N . {\displaystyle {\mathfrak {N}}.} “ (B. L. van der Waerden: Algebra. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). Teil I, Siebte Auflage. Springer-Verlag, Berlin / New York 1966 (Einleitung zu Paragraph 10))
5. ↑ Manche Autoren (Wilhelm Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie. Springer, Berlin / Heidelberg 1984, ISBN 3-540-13427-1, S. 7.; Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 1973, S. 134.) nennen einen Homomorphismus auch nur kurz „Morphismus“, während andere (Fritz Reinhardt, Heinrich Sonder: dtv-Atlas Mathematik. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie. 9. Auflage. Deutscher Taschenbuchverlag, München 1991, ISBN 3-423-03007-0, S. 36–37.) jede strukturverträgliche Abbildung „Morphismus“ nennen und nur einen Homomorphismus von algebraischen Strukturen als „Homomorphismus“ bezeichnen.
6. ↑ Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 3-86025-461-8, Abschnitt 1.3 Homomorphismen. S. 20.
7. ↑ Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: Einführung in die mathematische Logik. 3., vollst. überarb. u. erw. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim 1992, ISBN 3-411-15603-1, S. 225.
8. ↑ Jeder stetige Gruppenhomomorphismus zwischen Lie-Gruppen ist glatt.