Gittergraph
Ein Gittergraph ist ein planarer Graph, der so in die Ebene gezeichnet werden kann, dass all seine Knoten auf ganzzahligen Punkten in einem kartesischen Koordinatensystem liegen und alle Kanten die Länge 1 haben. Jeder Gittergraph ist ein Einheitsdistanz-Graph. Meist werden Gittergraphen G n , m {\displaystyle G_{n,m}} betrachtet, deren Zeichnung ein rechteckiges n × m {\displaystyle n\times m} Gitter bildet. Diese lassen sich schreiben als G n , m := ( { 1 … n } × { 1 … m } , { { ( i , j ) , ( i ′ , j ′ ) } ∣ | i − i ′ | + | j − j ′ | = 1 } ) {\displaystyle G_{n,m}:=\left(\{1\dots n\}\times \{1\dots m\},\left\{\left\{(i,j),(i',j')\right\}\mid |i-i'|+|j-j'|=1\right\}\right)} Anschaulich bedeutet dies, dass die Knotenmenge { 1 … n } × { 1 … m } {\displaystyle \{1\dots n\}\times \{1\dots m\}} von G n , m {\displaystyle G_{n,m}} gerade die Punkte mit den ganzzahligen Koordinaten von 1 {\displaystyle 1} bis n {\displaystyle n} auf einer Achse und von 1 {\displaystyle 1} bis m {\displaystyle m} auf der anderen Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems enthält. Zwei Knoten ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} und ( i ′ , j ′ ) {\displaystyle (i',j')} sind genau dann durch eine Kante { ( i , j ) , ( i ′ , j ′ ) } {\displaystyle \left\{(i,j),(i',j')\right\}} verbunden, wenn sie den Abstand 1 haben. Der Gittergraph G 2 , 2 {\displaystyle G_{2,2}} besteht aus genau vier Knoten und vier Kanten und ist isomorph zum Kreisgraphen C 4 {\displaystyle C_{4}} . Die Gittergraphen der Form G 2 , n {\displaystyle G_{2,n}} heißen Leitergraphen.
Ein Gittergraph ist ein planarer Graph, der so in die Ebene gezeichnet werden kann, dass all seine Knoten auf ganzzahligen Punkten in einem kartesischen Koordinatensystem liegen und alle Kanten die Länge 1 haben. Jeder Gittergraph ist ein Einheitsdistanz-Graph.
Meist werden Gittergraphen betrachtet, deren Zeichnung ein rechteckiges Gitter bildet. Diese lassen sich schreiben als
Anschaulich bedeutet dies, dass die Knotenmenge von gerade die Punkte mit den ganzzahligen Koordinaten von bis auf einer Achse und von bis auf der anderen Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems enthält. Zwei Knoten und sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn sie den Abstand 1 haben.
Der Gittergraph besteht aus genau vier Knoten und vier Kanten und ist isomorph zum Kreisgraphen . Die Gittergraphen der Form heißen Leitergraphen.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Frank Gurski, Irene Rothe, Jörg Rothe, Egon Wanke: Exakte Algorithmen für schwere Graphenprobleme. Springer, 2010, ISBN 978-3-642-04499-1, S. 32 (google.de).