Generischer Punkt

Der Begriff des generischen Punktes gehört zum mathematischen Teilgebiet der mengentheoretischen Topologie, findet jedoch hauptsächlich in der algebraischen Geometrie Anwendung.

Ein Punkt η {\displaystyle \eta } eines topologischen Raumes X {\displaystyle X} heißt generisch, wenn X {\displaystyle X} der Abschluss der Teilmenge { η } {\displaystyle \{\eta \}} ist. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass η {\displaystyle \eta } in jeder offenen Teilmenge ungleich der leeren Menge enthalten ist.

• Räume, die einen generischen Punkt besitzen, sind stets irreduzibel.
• Erfüllt ein Raum das Trennungsaxiom T₀, so besitzt er höchstens einen generischen Punkt.
• In Hausdorffräumen, die mehr als einen Punkt enthalten, gibt es keine generischen Punkte.
• Ist x {\displaystyle x} ein Punkt eines beliebigen topologischen Raumes X {\displaystyle X} , so ist der Abschluss von { x } {\displaystyle \{x\}} in X {\displaystyle X} eine irreduzible Teilmenge Y {\displaystyle Y} von X {\displaystyle X} , und x {\displaystyle x} ist ein generischer Punkt von Y {\displaystyle Y} .

Ist A {\displaystyle A} ein Integritätsring, so ist das Nullideal { 0 } {\displaystyle \{0\}} der (einzige) generische Punkt des Spektrums Spec ⁡ A {\displaystyle \operatorname {Spec} A} ; der Restklassenkörper des generischen Punktes ist der Quotientenkörper von A {\displaystyle A} .

Ist X {\displaystyle X} ein irreduzibles Schema und η {\displaystyle \eta } sein generischer Punkt, so sind häufig Aussagen über offene Teilmengen von X {\displaystyle X} äquivalent zu den entsprechenden Aussagen für η {\displaystyle \eta } . Ist beispielsweise M {\displaystyle M} eine kohärente Garbe auf X {\displaystyle X} , so ist M η = 0 {\displaystyle M_{\eta }=0} äquivalent zu M x = 0 {\displaystyle M_{x}=0} für alle x {\displaystyle x} in einer geeigneten offenen Teilmenge von X {\displaystyle X} .

Besitzt in einem topologischen Raum jede irreduzible Teilmenge einen generischen Punkt, so heißt der Raum nüchtern.

• Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie (= Vieweg-Studium. Bd. 87). Vieweg, Braunschweig u. a. 1997, ISBN 3-528-07287-3, S. 69–70.