Friedmann-Modell

Unter einem Friedmann-Modell oder Friedmann-Lemaître-Modell (benannt nach dem russischen Mathematiker und Meteorologen Alexander Friedmann und dem belgischen Astrophysiker Georges Lemaître)^[1] versteht man in der Kosmologie Lösungen der Friedmann-Gleichung, d. h. eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen mit konstanter Krümmung, die um jeden Punkt räumlich isotrop ist.

Friedmann-Modelle unterscheiden sich durch den Parameter k {\displaystyle k} aus der Robertson-Walker-Metrik

• k = + 1 {\displaystyle k=+1} : positive Krümmung
• k = 0 {\displaystyle k=0} : keine Krümmung, flacher Raum
• k = − 1 {\displaystyle k=-1} : negative Krümmung

und den Wert der kosmologischen Konstante Λ {\displaystyle \Lambda } .

Es handelt sich um ein nicht expandierendes oder kontrahierendes, statisches (gegenüber kleinen Änderungen instabiles) Universum mit

k = + 1 , Λ = Λ c   , {\displaystyle k=+1,\quad \Lambda =\Lambda _{c}\ ,}

wobei Λ c = 4 / ( κ M ) 2 {\displaystyle \Lambda _{c}=4/(\kappa M)^{2}} ist.^[2.1]

k = + 1 , Λ = Λ c ( 1 + ϵ )   , {\displaystyle k=+1,\quad \Lambda =\Lambda _{c}(1+\epsilon )\ ,}

wobei ϵ {\displaystyle \epsilon } ein sehr kleiner Parameter ist. Durch die Wahl eines geeigneten ϵ {\displaystyle \epsilon } ist die Zeitskala der Expansion des Universums so gedehnt, dass zwischen zwei expandierenden Zeitphasen ein fast statisches Universum besteht.^[2.2]

ρ = 0 , Λ > 0 {\displaystyle \rho =0,\quad \Lambda >0}

Die drei verschiedenen Werte für k {\displaystyle k} ergeben drei mögliche Modelle, die aber nur verschiedene Schnitte derselben Raumzeit sind.^[2.3]

Das Einstein-de-Sitter-Universum ergibt sich mit

k = 0 , Λ = 0   . {\displaystyle k=0,\quad \Lambda =0\ .}

Für dieses flache, unendlich ausgedehnte Universum entwickelt sich der Parameter R {\displaystyle R} der Robertson-Walker-Metrik gerade mit R ∼ t 2 / 3 {\displaystyle R\sim t^{2/3}} .^[2.4]

1. ↑ Hubert Goenner: Einsteins Relativitätstheorien: Raum, Zeit, Masse, Gravitation. C.H.Beck, 1999, ISBN 978-3-406-45669-5, S. 96 (google.de [abgerufen am 9. April 2012]). 
2. ↑ R. Sexl, H. Urbantke: Gravitation und Kosmologie. 3., korrigierte Auflage. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1987, ISBN 3-411-03177-8. 
   1. ↑ S. 158
   2. ↑ S. 159
   3. ↑ S. 164
   4. ↑ S. 160