Farey-Graph

In der Mathematik ist der Farey-Graph ein unendlicher Graph, der zahlreiche Anwendungen in der Zahlentheorie und anderen Gebieten der Mathematik besitzt.

Die Knotenmenge des Farey-Graphen ist Q ∪ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {Q} \cup \left\{\infty \right\}} , also die Menge aller Paare

{ p q : p , q ∈ Z   teilerfremd , q ≥ 0 } {\displaystyle \left\{{\frac {p}{q}}:p,q\in \mathbb {Z} \ {\mbox{teilerfremd}},q\geq 0\right\}} ,

wobei ∞ {\displaystyle \infty } als 1 0 {\displaystyle {\frac {1}{0}}} aufgefasst wird.

Zwei Knoten a c {\displaystyle {\frac {a}{c}}} und b d {\displaystyle {\frac {b}{d}}} sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn

det ( a b c d ) = ± 1 {\displaystyle \det \left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)=\pm 1}

gilt.^[1]

• Farey-Folgen werden durch Farey-Diagramme F n {\displaystyle F_{n}} beschrieben, der Farey-Graph ist die Vereinigung ∪ n F n {\displaystyle \cup _{n}F_{n}} aller Farey-Diagramme.
• In der Theorie der Kettenbrüche wird der Farey-Graph verwendet, um zu beweisen, dass jeder periodische Kettenbruch eine quadratische Irrationalzahl ist.
• Die Modulgruppe S L ( 2 , Z ) {\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )} und ihr Quotient P S L ( 2 , Z ) = S L ( 2 , Z ) / ± I {\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )=SL(2,\mathbb {Z} )/\pm I} wirken durch gebrochen-lineare Transformationen auf Q ∪ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {Q} \cup \left\{\infty \right\}} und bilden dabei adjazente Knoten des Farey-Graphen wieder auf adjazente Knoten ab.
• Die Einbettung des Farey-Graphen in die Kompaktifizierung der hyperbolischen Ebene mittels der Identifizierung Q ∪ { ∞ } = P 1 Q ⊂ P 1 R = ∂ ∞ H 2 {\displaystyle \mathbb {Q} \cup \left\{\infty \right\}=P^{1}\mathbb {Q} \subset P^{1}\mathbb {R} =\partial _{\infty }H^{2}} und Realisierung der Kanten als Geodäten gibt die Farey-Tesselation der hyperbolischen Ebene.
• Die Coxeter-Gruppe G = ⟨ a , b , c | a 2 = b 2 = c 2 = 1 ⟩ {\displaystyle G=\langle a,b,c\vert a^{2}=b^{2}=c^{2}=1\rangle } (d. h. die Spiegelungsgruppe eines idealen Dreiecks) wirkt auf dem Fareygraphen durch

a → ± ( 0 − 1 1 0 ) , b → ± ( 1 − 1 2 − 1 ) , c → ± ( 1 − 2 1 − 1 ) {\displaystyle a\to \pm \left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right),b\to \pm \left({\begin{array}{cc}1&-1\\2&-1\end{array}}\right),c\to \pm \left({\begin{array}{cc}1&-2\\1&-1\end{array}}\right)} ,

jedes der Dreiecke der Farey-Tesselation ist ein Fundamentalbereich der Wirkung von G {\displaystyle G} auf der hyperbolischen Ebene.

• Der Kurvenkomplex des punktierten Torus ist der Farey-Graph, die Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf dem Kurvenkomplex ist die Wirkung von S L ( 2 , Z ) {\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )} auf dem Farey-Graphen.^[2]

• The Farey diagram (PDF; 675 kB)
• Distance formula in Farey graph

1. ↑ The boundary of the Gieseking tree in hyperbolic 3-space, Kapitel 3
2. ↑ The train track complex of the once punctured torus and the four punctured sphere