Erste Variation
Die erste Variation ist eine verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals. Ihre Eigenschaften sind in der angewandten Mathematik und der theoretischen Physik relevant. Die erste Variation spielt eine zentrale Rolle in der Variationsrechnung und wird in der analytischen Mechanik genutzt. Ein verwandtes Konzept ist die Funktionalableitung.
Die erste Variation ist eine verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals. Ihre Eigenschaften sind in der angewandten Mathematik und der theoretischen Physik relevant. Die erste Variation spielt eine zentrale Rolle in der Variationsrechnung und wird in der analytischen Mechanik genutzt. Ein verwandtes Konzept ist die Funktionalableitung.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei
X
{\displaystyle X}
-
δ
J
(
y
)
(
h
)
=
d
d
ε
J
(
y
+
ε
h
)
|
ε
=
0
{\displaystyle \delta J(y)(h)=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0}}
.
Dies entspricht dem Gâteaux-Differential des Funktionals
J
{\displaystyle J}
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Die erste Variation ist eine lineare Abbildung:
-
δ
(
F
(
y
)
+
α
G
(
y
)
)
(
h
)
=
δ
F
(
y
)
(
h
)
+
α
δ
G
(
y
)
(
h
)
∀
α
∈
K
,
∀
F
,
G
∈
D
′
(
Ω
)
{\displaystyle \delta (F(y)+\alpha G(y))(h)=\delta F(y)(h)+\alpha \delta G(y)(h)\quad \forall \alpha \in \mathbb {K} ,\,\forall F,G\in {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )}
-
δ
(
F
(
y
)
+
α
G
(
y
)
)
(
h
)
=
δ
F
(
y
)
(
h
)
+
α
δ
G
(
y
)
(
h
)
∀
α
∈
K
,
∀
F
,
G
∈
D
′
(
Ω
)
{\displaystyle \delta (F(y)+\alpha G(y))(h)=\delta F(y)(h)+\alpha \delta G(y)(h)\quad \forall \alpha \in \mathbb {K} ,\,\forall F,G\in {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )}
- Für ein Produkt aus Funktionalen
F
(
y
)
=
G
(
y
)
H
(
y
)
{\displaystyle F(y)=G(y)H(y)}
gilt die Produktregel:
-
δ
F
(
y
)
(
h
)
=
δ
G
(
y
)
(
h
)
H
(
y
)
+
G
(
y
)
δ
H
(
y
)
(
h
)
{\displaystyle \delta F(y)(h)=\delta G(y)(h)\ H(y)+G(y)\ \delta H(y)(h)}
-
δ
F
(
y
)
(
h
)
=
δ
G
(
y
)
(
h
)
H
(
y
)
+
G
(
y
)
δ
H
(
y
)
(
h
)
{\displaystyle \delta F(y)(h)=\delta G(y)(h)\ H(y)+G(y)\ \delta H(y)(h)}
Beispiel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die erste Variation von
-
J
(
y
)
=
∫
a
b
y
y
′
d
x
.
{\displaystyle J(y)=\int _{a}^{b}yy'\,\mathrm {d} x.}
ist nach obiger Definition
-
δ
J
(
y
)
(
h
)
=
d
d
ε
J
(
y
+
ε
h
)
|
ε
=
0
=
d
d
ε
∫
a
b
(
y
+
ε
h
)
(
y
′
+
ε
h
′
)
d
x
|
ε
=
0
=
d
d
ε
∫
a
b
(
y
y
′
+
y
ε
h
′
+
y
′
ε
h
+
ε
2
h
h
′
)
d
x
|
ε
=
0
=
∫
a
b
d
d
ε
(
y
y
′
+
y
ε
h
′
+
y
′
ε
h
+
ε
2
h
h
′
)
|
ε
=
0
d
x
=
∫
a
b
(
y
h
′
+
y
′
h
+
2
ε
h
h
′
)
|
ε
=
0
d
x
=
∫
a
b
(
y
h
′
+
y
′
h
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\delta J(y)(h)&=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0}\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}(y+\varepsilon h)(y^{\prime }+\varepsilon h^{\prime })\,\mathrm {d} x{\Bigg |}_{\varepsilon =0}\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\,\mathrm {d} x{\Bigg |}_{\varepsilon =0}\\&=\int _{a}^{b}\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\right|_{\varepsilon =0}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h+2\varepsilon hh^{\prime }){\bigg |}_{\varepsilon =0}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h)\,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}}
Siehe auch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Exampleproblems.com hat weitere Beispiele.