Dimensionsformel

Die Dimensionsformel entstammt dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Sie gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlichdimensionaler Untervektorräume V 1 {\displaystyle V_{1}} , V 2 {\displaystyle V_{2}} eines größeren Vektorraumes berechnen lässt: dim ⁡ ( V 1 + V 2 ) = dim ⁡ V 1 + dim ⁡ V 2 − dim ⁡ ( V 1 ∩ V 2 ) {\displaystyle \dim \left(V_{1}+V_{2}\right)=\dim V_{1}+\dim V_{2}-\dim \left(V_{1}\cap V_{2}\right)} Sie folgt unmittelbar aus dem Rangsatz. Einen Spezialfall stellt die Situation V 1 ⊕ V 2 = V 1 + V 2 {\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}=V_{1}+V_{2}} dar (siehe Direkte Summe). Die Dimensionsformel reduziert sich in diesem Fall auf dim ⁡ ( V 1 + V 2 ) = dim ⁡ V 1 + dim ⁡ V 2 , {\displaystyle \dim \left(V_{1}+V_{2}\right)=\dim V_{1}+\dim V_{2},} da für eine direkte Summe gilt V 1 ∩ V 2 = { 0 } . {\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\{0\}.} Der Untervektorraum, den der Schnitt von V 1 {\displaystyle V_{1}} und V 2 {\displaystyle V_{2}} darstellt, ist somit der Nullvektorraum, dessen Dimension gleich null ist. Ist V 1 {\displaystyle V_{1}} oder V 2 {\displaystyle V_{2}} unendlichdimensional, so ist es nicht mehr möglich die Subtraktion auszuführen. Es gilt jedoch in jedem Fall dim ⁡ ( V 1 + V 2 ) ≥ max { dim ⁡ V 1 , dim ⁡ V 2 } {\displaystyle \dim \left(V_{1}+V_{2}\right)\geq \max\{\dim V_{1},\dim V_{2}\}} und dim ⁡ ( V 1 + V 2 ) ≤ dim ⁡ ( V 1 ⊕ V 2 ) = dim ⁡ V 1 + dim ⁡ V 2 {\displaystyle \dim \left(V_{1}+V_{2}\right)\leq \dim \left(V_{1}\oplus V_{2}\right)=\dim V_{1}+\dim V_{2}} . Da für zwei Kardinalzahlen, von denen zumindest eine unendlich ist, die Summe gleich dem Maximum der beiden ist, ist also in dem Fall, dass einer der beiden Teilräume unendlichdimensional ist, dim ⁡ ( V 1 + V 2 ) = max { dim ⁡ V 1 , dim ⁡ V 2 } {\displaystyle \dim \left(V_{1}+V_{2}\right)=\max\{\dim V_{1},\dim V_{2}\}} .