Delta-Methode

Die Delta-Methode ist in der asymptotischen Statistik eine Methode um die asymptotische Normalverteilung der Funktion einer asymptotisch normalverteilten Zufallsvariablen zu bestimmen.

Wenn für eine Folge von Zufallsvariablen X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}} mit zwei endlichen Konstanten μ {\displaystyle \mu } und σ 2 ≥ 0 {\displaystyle \sigma ^{2}\geq 0}

n ( X n − μ ) → V N ( 0 , σ 2 ) {\displaystyle {{\sqrt {n}}(X_{n}-\mu ){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}}

gilt, wobei → V {\displaystyle {\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}} die Konvergenz in Verteilung bezeichnet, dann gilt für eine differenzierbare Funktion g {\displaystyle g} mit g ′ ( μ ) ≠ 0 {\displaystyle g'(\mu )\neq 0} :

n ( g ( X n ) − g ( μ ) ) → V N ( 0 , σ 2 ( g ′ ( μ ) ) 2 ) . {\displaystyle {\sqrt {n}}(g(X_{n})-g(\mu )){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}(g'(\mu ))^{2})\;.} ^[1]

Es sei X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert μ {\displaystyle \mu } und Varianz 0 < σ 2 < ∞ {\displaystyle 0<\sigma ^{2}<\infty } . Für die Folge der zufälligen arithmetischen Mittel X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i {\displaystyle {\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}} folgt dann aus dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik

n ( X n ¯ − μ ) → V N ( 0 , σ 2 ) {\displaystyle {\sqrt {n}}({\bar {X_{n}}}-\mu ){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})} .

Wenn man sich für die asymptotische Verteilung von Y n = e X ¯ n {\displaystyle Y_{n}=\mathrm {e} ^{{\bar {X}}_{n}}} interessiert, dann ist g ( x ) = e x {\displaystyle g(x)=\mathrm {e} ^{x}} , g ′ ( x ) = e x {\displaystyle g'(x)=\mathrm {e} ^{x}} , g ′ ( μ ) = e μ {\displaystyle g'(\mu )=\mathrm {e} ^{\mu }} und ( g ′ ( μ ) ) 2 = e 2 μ {\displaystyle (g'(\mu ))^{2}=\mathrm {e} ^{2\mu }} . Die Delta-Methode ergibt dann

n ( Y n − e μ ) → V N ( 0 , σ 2 e 2 μ ) . {\displaystyle {\sqrt {n}}(Y_{n}-\mathrm {e} ^{\mu }){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}\mathrm {e} ^{2\mu })\;.} ^[2]

Für den Fall g ′ ( μ ) = 0 {\displaystyle g'(\mu )=0} und g ″ ( μ ) ≠ 0 {\displaystyle g''(\mu )\neq 0} gibt es eine Verallgemeinerung der Delta-Methode, die Delta-Methode zweiter Ordnung, die besagt, dass

n ( g ( X n ) − g ( μ ) ) → V σ 2 g ″ ( μ ) 2 Z 2 , {\displaystyle n(g(X_{n})-g(\mu )){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}\sigma ^{2}{\frac {g''(\mu )}{2}}Z^{2}\;,}

wobei Z {\displaystyle Z} eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.^[3]

Für eine Folge p {\displaystyle p} -dimensionaler Zufallsvektoren X 1 , … , X n {\displaystyle \mathbf {X} _{1},\dots ,\mathbf {X} _{n}} gelte

n ( X n − μ ) → V N p ( 0 , Σ ) {\displaystyle {{\sqrt {n}}(\mathbf {X} _{n}-{\boldsymbol {\mu }}){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}_{p}(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})}}

mit μ ∈ R p {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{p}} und einer positiv semidefiniten Matrix Σ ∈ R p × p {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\in \mathbb {R} ^{p\times p}} . Für eine differenzierbare Funktion g : R p → R {\displaystyle g:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} } bezeichne ∇ μ {\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {\mu }}} den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen der Funktion g {\displaystyle g} an der Stelle μ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}} , der komponentenweise von Null verschieden ist. Dann gilt

n ( g ( X n ) − g ( μ ) ) → V N ( 0 , ∇ μ T Σ ∇ μ ) {\displaystyle {\sqrt {n}}(g(\mathbf {X} _{n})-g({\boldsymbol {\mu }})){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}\left(0,\nabla _{\boldsymbol {\mu }}^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}\nabla _{\boldsymbol {\mu }}\right)} .^[4]

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen einer unendlich-dimensionalen Zufallsvariable (eines stochastischen Prozesses) durch die funktionale Delta-Methode.^[5] Die funktionale Delta-Methode wird manchmal auch als Von-Mises-Methode bezeichnet.

• Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, doi:10.1007/s13571-023-00305-9. 
• Gary W. Oehlert: A Note on the Delta Method. In: The American Statistician. Band 46, Nr. 1, 1992, S. 27–29, doi:10.1080/00031305.1992.10475842, JSTOR:2684406. 
• Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 3 Delta Method, S. 25–34. 

1. ↑ Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.13 Theorem (The Delta Method), S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9. 
2. ↑ Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.14 Example, S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9. 
3. ↑ Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, S. 4, doi:10.1007/s13571-023-00305-9. 
4. ↑ Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.15 Theorem (The Multivariate Delta Method), S. 79–80, doi:10.1007/978-0-387-21736-9. 
5. ↑ Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 20 Functional Delta Method, S. 291–303.