Datenmatrix

In der Statistik ist die Datenmatrix, auch Versuchsplanmatrix,^[1] Designmatrix^[1] (von englisch research design: deutsch Versuchsplan), Modellmatrix, Beobachtungsmatrix oder Regressormatrix genannt, eine Matrix, die Daten über mehrere Merkmale mehrerer Personen oder Objekte (statistische Einheiten) enthält. Sie ist Grundlage des klassischen Modells der linearen Mehrfachregression.

Der Begriff Versuchsplan- bzw. Designmatrix (bezeichnet mit X {\displaystyle \mathbf {X} } ) kommt aus dem Teilgebiet der statistischen Versuchsplanung, die sich mit dem statistisch optimalen Entwurf von Experimenten beschäftigt (siehe Optimale Versuchsplanung). Wenn die Werte der x i j {\displaystyle x_{ij}} geplant sind (vom Forscher festgelegt), enthält die X {\displaystyle \mathbf {X} } -Matrix im Wesentlichen den Versuchsplan und wird daher manchmal als Versuchsplanmatrix bezeichnet.^[2]

Geht man davon aus, dass n {\displaystyle n} Untersuchungseinheiten vorliegen, an denen k = p − 1 {\displaystyle k=p-1} Variablen beobachtet wurden, dann ist der an der i {\displaystyle i} -ten Untersuchungseinheit beobachtete Wert der j {\displaystyle j} -ten Variable x i j {\displaystyle x_{ij}} . Die Datenmatrix ist definiert als die n × p {\displaystyle n\times p} -Matrix

X = ( x i j ) n × p = ( 1 x 11 x 12 ⋯ x 1 k 1 x 21 x 22 ⋯ x 2 k ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 x n 1 x n 2 ⋯ x n k ) {\displaystyle \mathbf {X} =(x_{ij})_{n\times p}={\begin{pmatrix}1&x_{11}&x_{12}&\cdots &x_{1k}\\1&x_{21}&x_{22}&\cdots &x_{2k}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n1}&x_{n2}&\cdots &x_{nk}\end{pmatrix}}} .

Die i {\displaystyle i} -te Zeile der Datenmatrix X {\displaystyle \mathbf {X} } ist der – mit den am i {\displaystyle i} -ten Objekt beobachteten Variablenwerten – gebildete Zeilenvektor x i . ⊤ = ( x i 0 , x i 1 , … , x i k ) {\displaystyle \mathbf {x} _{i\mathbf {.} }^{\top }=(x_{i0},x_{i1},\dotsc ,x_{ik})} , i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dotsc ,n} . Man kann das i {\displaystyle i} -te Objekt geometrisch als Punkt darstellen, indem man die Elemente als Koordinaten eines Punktes in einem p {\displaystyle p} -dimensionalen Merkmalsraum deutet, der von p {\displaystyle p} rechtwinkelig angeordneten Merkmalsachsen aufgespannt wird. Wenn man auf diese Art alle Zeilenvektoren von X {\displaystyle \mathbf {X} } als Punkte darstellt, ergibt sich eine die Objekte (Untersuchungseinheiten) repräsentierende Verteilung von Punkten im Merkmalsraum.^[3]

Ebenso kann man die Datenmatrix als Zusammenfassung der Spaltenvektoren x . j = ( x 1 j , x 2 j , … , x n j ) ⊤ {\displaystyle \mathbf {x} _{\mathbf {.} j}=(x_{1j},x_{2j},\dotsc ,x_{nj})^{\top }} , j = 0 , … , k {\displaystyle j=0,\dotsc ,k} deuten. Jeder Spaltenvektor ist einer Variablen X j {\displaystyle X_{j}} zugeordnet und beinhaltet die an den Untersuchungseinheiten beobachteten Werte dieser Variablen. Mit diesen Werten können die Variablen in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem, in dem die Achsen die n {\displaystyle n} Untersuchungseinheiten repräsentieren, als Punkte dargestellt werden. Im von den n {\displaystyle n} Achsen aufgespannten Objektraum lassen sich die Beziehungen zwischen den Variablen veranschaulichen.^[4]

Die Datenmatrix X {\displaystyle \mathbf {X} } kann als eine partitionierte Matrix bezüglich ihrer p = k + 1 {\displaystyle p=k+1} Spalten ausgedrückt werden als

X = ( 1 , x ( 1 ) , x ( 2 ) , … , x ( k ) ) {\displaystyle \mathbf {X} =(\mathbf {1} ,\mathbf {x} _{(1)},\mathbf {x} _{(2)},\dotsc ,\mathbf {x} _{(k)})} .

Die Spalten der Datenmatrix X {\displaystyle \mathbf {X} } inklusive des Einsvektors 1 {\displaystyle \mathbf {1} } sind alle n {\displaystyle n} -dimensionale Vektoren und daher Punkte im Datenraum. Da für gewöhnlich angenommen wird, dass X {\displaystyle \mathbf {X} } von Rang k + 1 {\displaystyle k+1} ist, sind die Vektoren linear unabhängig. Die Menge aller möglichen Linearkombinationen der Spalten von X {\displaystyle \mathbf {X} } bilden eine Teilmenge des Datenraums.^[5]

1. ↑ ^{a b} design matrix. Glossary of statistical terms. In: International Statistical Institute. 1. Juni 2011, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 19. September 2013; abgerufen am 19. Mai 2020 (englisch).  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/isi.cbs.nl 
2. ↑ Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: Linear models in statistics., John Wiley & Sons, 2008., S. 139
3. ↑ Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 3. Auflage. 2013, S. 420.
4. ↑ Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 3. Auflage. 2013, S. 420.
5. ↑ Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: Linear models in statistics., John Wiley & Sons, 2008., S. 153.