Crofton-Formel

Die Crofton-Formel^[1] (auch Cauchy-Crofton-Formel) ist in der Integralgeometrie eine Formel zur Berechnung der Bogenlänge einer Kurve und ist nach Morgan Crofton benannt.

Die Crofton-Formel drückt die Bogenlänge s ( γ ) {\displaystyle s(\gamma )} einer ebenen Kurve γ {\displaystyle \gamma } durch ein Integral über die Zahl der Schnittpunkte n γ {\displaystyle n_{\gamma }} mit einer Geraden aus; deren Abstand vom Ursprung sei p {\displaystyle p} (Länge des Lots vom Ursprung auf die Gerade) und der Winkel des Lots mit der x-Achse sei φ {\displaystyle \varphi } (siehe Hessesche Normalform der Geradengleichung). Dann ist d p d φ {\displaystyle dpd\varphi } ein kinematisch invariantes Maß (invariant unter Drehungen und Translationen der euklidischen Ebene). n γ {\displaystyle n_{\gamma }} sei die Anzahl der Schnittpunkte der durch p , φ {\displaystyle p,\varphi } parametrisierten Geraden mit der Kurve. Croftons Formel für die Bogenlänge lautet dann:

s ( γ ) = 1 2 ∫ ∫ n γ ( φ , p ) d φ d p {\displaystyle s(\gamma )={\frac {1}{2}}\int \int n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp}

Für eine Schätzung der der Bogenlänge kann eine Monte-Carlo-Simulation benutzt werden: Dabei seien die Zufallsvariablen φ , p {\displaystyle \varphi ,p} gleichverteilt im Volumen V = 2 π h {\displaystyle V=2\pi h} . p ~ = 1 V {\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {1}{V}}} sei somit die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte der Gleichverteilung. Wegen s ( γ ) = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ − h / 2 h / 2 n γ ( φ , p ) d φ d p V V ⏟ 1 = V 2 ∫ 0 2 π ∫ − h / 2 h / 2 n γ ( φ , p ) p ~ ( φ , p ) d φ d p = V 2 E ( φ , p ) ∼ p ~ [ n γ ( φ , p ) ] {\displaystyle s(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{-h/2}^{h/2}n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp\underbrace {\frac {V}{V}} _{1}={\frac {V}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{-h/2}^{h/2}n_{\gamma }(\varphi ,p){\tilde {p}}(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp={\frac {V}{2}}E_{(\varphi ,p)\sim {\tilde {p}}}[n_{\gamma }(\varphi ,p)]} gilt daher nach dem Gesetz der großen Zahlen

s ^ ( γ ) = V 2 N ∑ i = 1 N n γ ( φ i , p i ) , {\displaystyle {\hat {s}}(\gamma )={\frac {V}{2N}}\sum _{i=1}^{N}n_{\gamma }(\varphi _{i},p_{i}),}

wobei N {\displaystyle N} die Zahl der gezogenen Stichproben ( φ i , p i ) {\displaystyle (\varphi _{i},p_{i})} aus dem Volumen V {\displaystyle V} sind.

Die Formel kann plausibel gemacht werden,^[2] wenn man als Beispiel für γ {\displaystyle \gamma } eine Linie der Länge L {\displaystyle L} auf der x-Achse betrachtet, mit dem Mittelpunkt im Ursprung. Croftons Formel ergibt dann:

s ( γ ) = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 | cos ⁡ ( φ ) | L 2 n γ ( φ , p ) d p d φ   = L 4 ∫ 0 2 π | cos ⁡ ( φ ) | d φ = L 4 4 = L {\displaystyle s(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{|{\cos(\varphi )}|{\frac {L}{2}}}n_{\gamma }(\varphi ,p)\;dp\;d\varphi \ ={\frac {L}{4}}\int _{0}^{2\pi }|{\cos(\varphi )}|d\varphi ={\frac {L}{4}}4=L} .

Das kann man mittels Approximation durch gerade Linien auf eine beliebige Kurve übertragen.

Ein weiteres einfaches Beispiel ist die Einheitskreislinie γ {\displaystyle \gamma } . Zu jedem φ ∈ [ 0 , 2 π ] {\displaystyle \varphi \in [0,2\pi ]} schneidet die Gerade mit Abstand p {\displaystyle p} die Kreislinie genau für 0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1} und zwar zweimal für 0 ≤ p < 1 {\displaystyle 0\leq p<1} . Daher ist

s ( γ ) = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 n γ ( φ , p ) d p d φ   = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 d p d φ   = 1 2 ⋅ 2 ⋅ 2 π = 2 π {\displaystyle s(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}n_{\gamma }(\varphi ,p)\;dp\;d\varphi \ ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}2\;dp\;d\varphi \ ={\frac {1}{2}}\cdot 2\cdot 2\pi =2\pi } ,

was, wie erwartet, der bekannte Kreisumfang ist.

1. ↑ Crofton On the theory of local probability. Transactions of the Royal Society, Bd. 158, 1868, S. 181
2. ↑ Adam Weyhaupt, Cauchy-Crofton`s formula, Indiana University