Chern-Simons-Form

Die Chern-Simons-Formen sind bei der Definition von sekundären charakteristischen Klassen verwendete Differentialformen, die in der Mathematik in Differentialgeometrie und Differentialtopologie in verschiedenen Zusammenhängen vorkommen, insbesondere in Eichtheorien. Die Chern-Simons-3-Form definiert das Wirkungsfunktional der Chern-Simons-Theorie. Sie sind benannt nach Shiing-Shen Chern und James Harris Simons, den Autoren der 1974 veröffentlichten Arbeit Characteristic Forms and Geometric Invariants.

Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Der Riemannsche Zusammenhang

A ∈ Ω 1 ( P ( M ) , g l ( n ) ) {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P(M),{\mathfrak {gl}}(n))}

ist eine Lie-Algebra-wertige 1-Form auf dem Rahmenbündel P ( M ) {\displaystyle P(M)} .

Die Chern-Simons-1-Form wird definiert durch

Tr ⁡ [ A ] {\displaystyle \operatorname {Tr} [\mathbf {A} ]} ,

wobei Tr die Spur von Matrizen bezeichnet.

Die Chern-Simons-3-Form wird definiert durch

Tr ⁡ [ F ∧ A − 1 3 A ∧ A ∧ A ] . {\displaystyle \operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right].}

Die Chern-Simons-5-Form wird definiert durch

Tr ⁡ [ F ∧ F ∧ A − 1 2 F ∧ A ∧ A ∧ A + 1 10 A ∧ A ∧ A ∧ A ∧ A ] {\displaystyle \operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]}

wobei die Krümmung F {\displaystyle \mathbf {F} } definiert ist durch

F = d A + A ∧ A . {\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}

Die allgemeine Chern-Simons-Form ω 2 k − 1 {\displaystyle \omega _{2k-1}} ist definiert, so dass

d ω 2 k − 1 = Tr ⁡ ( F k ) , {\displaystyle d\omega _{2k-1}=\operatorname {Tr} \left(\mathbf {F} ^{k}\right),}

wobei F k {\displaystyle \mathbf {F} ^{k}} durch das äußere Produkt von Differentialformen definiert wird.

Falls M {\displaystyle M} eine parallelisierbare 2k-1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist (zum Beispiele eine orientierbare 3-Mannigfaltigkeit), dann gibt es einen Schnitt s : M → P ( M ) {\displaystyle s:M\rightarrow P(M)} und das Integral von s ∗ ω 2 k − 1 {\displaystyle s^{*}\omega _{2k-1}} über die Mannigfaltigkeit M {\displaystyle M} ist eine globale Invariante, die modulo der Addition ganzer Zahlen wohldefiniert ist. (Für verschiedene Schnitte unterscheiden sich die Integrale nur um ganze Zahlen.) Die so definierte Invariante ist die Chern-Simons-Invariante

cs ⁡ ( M ) ∈ R / Z {\displaystyle \operatorname {cs} (M)\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} } .

Sei G {\displaystyle G} eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} und f ∈ I k ( g ) {\displaystyle f\in I^{k}({\mathfrak {g}})} ein invariantes Polynom.

Jedem invarianten Polynom f {\displaystyle f} entspricht eine Chern-Simons-Form von G {\displaystyle G} -Prinzipalbündeln wie folgt.

Sei π : P → M {\displaystyle \pi :P\rightarrow M} ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe G {\displaystyle G} . Man wähle eine Zusammenhangsform ω ∈ Ω 1 ( P , g ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})} und bezeichne mit Ω ∈ Ω 2 ( P , g ) {\displaystyle \Omega \in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})} ihre Krümmungsform. Dann ist die Chern-Simons-Form T f ∈ Ω 2 k − 1 ( P , R ) {\displaystyle Tf\in \Omega ^{2k-1}(P,\mathbb {R} )} definiert durch

T f = ∑ i = 0 k − 1 A i f ( ω ∧ [ ω , ω ] i ∧ Ω k − i − 1 ) {\displaystyle Tf=\sum _{i=0}^{k-1}A_{i}f\left(\omega \wedge [\omega ,\omega ]^{i}\wedge \Omega ^{k-i-1}\right)}

mit A i := ( − 1 ) i k ! ( k − 1 ) ! 2 i ( k + i ) ! ( k − 1 − i ) ! {\displaystyle A_{i}:=(-1)^{i}{\frac {k!(k-1)!}{2^{i}(k+i)!(k-1-i)!}}} .

Im Fall flacher Bündel vereinfacht sich diese Formel zu ( − 1 ) k − 1 k ! ( k − 1 ) ! 2 k − 1 ( 2 k − 1 ) ! f ( ω ∧ [ ω , ω ] k − 1 ) {\displaystyle (-1)^{k-1}{\frac {k!(k-1)!}{2^{k-1}(2k-1)!}}f\left(\omega \wedge [\omega ,\omega ]^{k-1}\right)} .

Es gilt die Gleichung

d T f = f ( Ω , … , Ω ) {\displaystyle dTf=f(\Omega ,\ldots ,\Omega )} ,

im Fall flacher Bündel also d T f = 0 {\displaystyle dTf=0} .

Bekanntlich entspricht jede charakteristische Klasse u ∈ H ∗ ( B G , Z ) {\displaystyle u\in H^{*}(BG,\mathbb {Z} )} einem invarianten Polynom, siehe Chern-Weil-Theorie. Falls f ( Ω , … , Ω ) = 0 {\displaystyle f(\Omega ,\ldots ,\Omega )=0} , dann verschwindet nach Chern-Weil-Theorie die entsprechende charakteristische Klasse u f {\displaystyle u_{f}} in reeller Kohomologie. Die Form T f {\displaystyle Tf} ist in diesem Fall geschlossen und definiert zunächst eine Klasse in der Kohomologie von P {\displaystyle P} . Zurückziehen mittels eines Schnittes definiert eine Kohomologieklasse von M {\displaystyle M} , welche modulo ganzer Zahlen wohldefiniert ist. Die so definierte Kohomologieklasse in H ∗ ( M , R / Z ) {\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {R} /\mathbb {Z} )} passt in die Bockstein-Folge

H 2 k − 1 ( M , R / Z ) → H 2 k ( M , Z ) → H 2 k ( M , R ) {\displaystyle H^{2k-1}(M,\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\rightarrow H^{2k}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{2k}(M,\mathbb {R} )} ,

wo sie auf die charakteristische Klasse u f {\displaystyle u_{f}} abgebildet wird, deren Bild in reeller Kohomologie verschwindet.

• Vierdimensionale Chern-Simons-Theorie
• Sechsdimensionale holomorphe Chern-Simons-Theorie
• Chirale Anomalie
• Jones-Polynom

• Chern, S.-S.; Simons, J.: Characteristic forms and geometric invariants. The Annals of Mathematics, Second Series 99, 1974, S. 48–69.