Cap-Produkt

In der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, definiert das Cap-Produkt eine Verknüpfung zwischen Kohomologie und Homologie eines Raumes.

Sei X {\displaystyle X} ein topologischer Raum, sei C n ( X ) {\displaystyle C_{n}(X)} die n {\displaystyle n} -te singuläre Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge aller stetigen Abbildungen des Standard- n {\displaystyle n} -Simplexes Δ n {\displaystyle \Delta ^{n}} nach X {\displaystyle X} und C n ( X ) = H o m ( C n ( X ) , Z ) {\displaystyle C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),\mathbb {Z} )} . Man bezeichne mit ι 0 … p : Δ p → Δ p + q {\displaystyle \iota _{0\ldots p}\colon \Delta ^{p}\rightarrow \Delta ^{p+q}} beziehungsweise ι p … p + q : Δ q → Δ p + q {\displaystyle \iota _{p\ldots p+q}\colon \Delta ^{q}\rightarrow \Delta ^{p+q}} die Inklusionen des Standard- p {\displaystyle p} - beziehungsweise q {\displaystyle q} -Simplexes als „vordere p {\displaystyle p} -dimensionale Seite“ beziehungsweise „hintere q {\displaystyle q} -dimensionale Seite“ in den Standard- ( p + q ) {\displaystyle (p+q)} -Simplex.

Für ψ ∈ C q ( X ) {\displaystyle \psi \in C^{q}(X)} und einen singulären Simplex σ : Δ p → X {\displaystyle \sigma :\Delta ^{p}\rightarrow X} (mit p ≥ q {\displaystyle p\geq q} ) definiert man

σ ⌢ ψ := ( − 1 ) p q ψ ( σ ∘ ι 0 … q ) σ ∘ ι q … p {\displaystyle \sigma \frown \psi :=(-1)^{pq}\psi (\sigma \circ \iota _{0\ldots q})\sigma \circ \iota _{q\ldots p}}

und setzt dies linear zu einer Abbildung

C q ( X ) × C p ( X ) → C p − q ( X ) {\displaystyle C^{q}(X)\times C_{p}(X)\rightarrow C_{p-q}(X)}

fort.

Allgemeiner sei R {\displaystyle R} ein Ring und sei C n ( X ; R ) = C n ( X ) ⊗ Z R , C n ( X ) = H o m ( C n ( X ) , R ) {\displaystyle C_{n}(X;R)=C_{n}(X)\otimes _{\mathbb {Z} }R,C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),R)} . Dann erhält man eine Abbildung

C q ( X ; R ) × C p ( X ; R ) → C p − q ( X ; R ) {\displaystyle C^{q}(X;R)\times C_{p}(X;R)\rightarrow C_{p-q}(X;R)} .

Aus der Relation

∂ ( σ ⌢ ψ ) = ( − 1 ) q ( ∂ σ ⌢ ψ − σ ⌢ δ ψ ) {\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi )}

folgt, dass das Cap-Produkt eine wohldefinierte Abbildung

H q ( X ; R ) × H p ( X ; R ) → H p − q ( X ; R ) {\displaystyle H^{q}(X;R)\times H_{p}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)}

definiert.

Für stetige Abbildungen f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} gilt

f ∗ ( c ) ⌢ ψ = f ∗ ( c ⌢ f ∗ ( ψ ) ) {\displaystyle f_{*}(c)\frown \psi =f_{*}(c\frown f^{*}(\psi ))}

mit c ∈ C p ( X ; R ) {\displaystyle c\in C_{p}(X;R)} , ψ ∈ C q ( Y ; R ) {\displaystyle \psi \in C^{q}(Y;R)} .

Das Cap-Produkt hängt mit dem Cup-Produkt über die folgende Gleichung zusammen:

ψ ( c ⌢ φ ) = ( φ ⌣ ψ ) ( c ) {\displaystyle \psi (c\frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(c)}

für c ∈ C p ( X ; R ) {\displaystyle c\in C_{p}(X;R)} , ψ ∈ C q ( X ; R ) {\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)} , φ ∈ C p − q ( X ; R ) . {\displaystyle \varphi \in C^{p-q}(X;R).}

Sei M {\displaystyle M} eine geschlossene, orientierbare n {\displaystyle n} -Mannigfaltigkeit und

[ M ] ∈ H n ( M ; Z ) {\displaystyle \left[M\right]\in H_{n}(M;\mathbb {Z} )}

die Fundamentalklasse. Dann realisiert das Cap-Produkt mit [ M ] {\displaystyle \left[M\right]} einen Isomorphismus

H k ( M ; Z ) → H n − k ( M ; Z ) {\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )}

für k = 0 , … , n {\displaystyle k=0,\ldots ,n} .

• Glen Bredon: Topology and geometry. Corrected third printing of the 1993 original. Graduate Texts in Mathematics, 139. Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-97926-3
• Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0.
• Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. Zweite Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. ISBN 3-519-12226-X