Begleitmatrix

Die Begleitmatrix ist eine spezielle Matrix, die einem normierten Polynom zugeordnet werden kann. Somit ist eine Begleitmatrix ein Objekt aus der linearen Algebra.

Die Begleitmatrix eines normierten Polynoms n {\displaystyle n} -ten Grades f ( x ) = x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}} über einem Körper ist die quadratische n × n {\displaystyle n\times n} -Matrix.^[1]

A ( f ) = ( 0 0 … 0 − a 0 1 0 … 0 − a 1 0 1 ⋱ ⋮ − a 2 ⋮ ⋱ ⋱ 0 ⋮ 0 … 0 1 − a n − 1 ) . {\displaystyle A(f)={\begin{pmatrix}0&0&\dots &0&-a_{0}\\1&0&\dots &0&-a_{1}\\0&1&\ddots &\vdots &-a_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\0&\dots &0&1&-a_{n-1}\\\end{pmatrix}}.}

Manchmal wird auch die transponierte Matrix von A ( f ) {\displaystyle A(f)} verwendet, was aber nichts Wesentliches ändert. Man nennt diese spezielle Form der Matrix dann auch Kardinalform.

Das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von A ( f ) {\displaystyle A(f)} sind gerade f {\displaystyle f} . Andererseits ist eine n × n {\displaystyle n\times n} -Matrix A {\displaystyle A} ähnlich zu der Begleitmatrix des charakteristischen Polynoms von A {\displaystyle A} genau dann, wenn das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von A {\displaystyle A} identisch sind.^[2]

Hat das Polynom f {\displaystyle f} genau n {\displaystyle n} verschiedene Nullstellen λ 1 , … , λ n {\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}} , dann ist A ( f ) {\displaystyle A(f)} diagonalisierbar: V A ( f ) V − 1 = d i a g ( λ 1 , … , λ n ) {\displaystyle VA(f)V^{-1}=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})} für die Vandermonde-Matrix V = V ( λ 1 , … , λ n ) {\displaystyle V=V(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})} .

Hiervon gilt sogar die Umkehrung, das heißt, eine Begleitmatrix A ( f ) {\displaystyle A(f)} ist genau dann diagonalisierbar, wenn f {\displaystyle f} genau g r a d ( f ) {\displaystyle \mathrm {grad} (f)} verschiedene Nullstellen hat.

Ein endlich-dimensionaler Vektorraum ist genau dann zyklisch durch einen Endomorphismus erzeugt, wenn eine Basis des Vektorraums existiert bezüglich der die Darstellende Matrix des Endomorphismus die Form einer Begleitmatrix hat.^[3]

Im Falle der ebenfalls gebräuchlichen Definition des charakteristische Polynoms als χ A = det ⁡ ( A f − λ E n ) {\displaystyle \chi _{A}=\operatorname {det} (A_{f}{-}\lambda E_{n})} , ist das Solche von A ( f ) {\displaystyle A(f)} durch ( − 1 ) n f {\displaystyle (-1)^{n}f} gegeben. Der Beweis erfolgt durch Laplace-Entwicklung nach der letzten Spalte, wobei sich das Ergebnis von der Normierten Definition des charakteristischen Polynoms nach der Multilinearität der Determinante um den Faktor ( − 1 ) n {\displaystyle (-1)^{n}} unterscheidet:

Sei B := A f − λ E n {\displaystyle B:=A_{f}-\lambda E_{n}} . Dann gilt

χ A = det ⁡ ( B ) = ∑ i = 1 n ( − 1 ) n + i b i n ⋅ det ⁡ ( B ´ i n ) {\displaystyle \chi _{A}=\operatorname {det} (B)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{n+i}b_{in}\cdot \operatorname {det} ({\acute {B}}_{in})}

Für alle i ∈ { 1 , . . . , n } {\displaystyle i\in \{1,...,n\}} ist B ´ i n {\displaystyle {\acute {B}}_{in}} in Blockgestalt, also

B ´ i n = ( C i 0 0 D i ) {\displaystyle {\acute {B}}_{in}={\begin{pmatrix}C_{i}&0\\0&D_{i}\end{pmatrix}}} mit C i = ( − λ 0 1 − λ ⋱ ⋱ 0 1 − λ ) ∈ Mat ⁡ ( i − 1 , K ) {\displaystyle C_{i}={\begin{pmatrix}-\lambda &&&0\\1&-\lambda &&\\&\ddots &\ddots &\\0&&1&-\lambda \end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (i-1,K)} , D i = ( 1 − λ 0 1 ⋱ ⋱ − λ 0 1 ) ∈ Mat ⁡ ( n − i , K ) {\displaystyle D_{i}={\begin{pmatrix}1&-\lambda &&0\\&1&\ddots &\\&&\ddots &-\lambda \\0&&&1\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (n-i,K)}

Mit dem Satz über Determinanten von Blockmatrizen und Diagonalmatrizen folgt

det ⁡ ( B ´ i n ) = det ⁡ ( C i ) ⋅ det ⁡ ( D i ) = ( − λ ) i − 1 {\displaystyle \operatorname {det} ({\acute {B}}_{in})=\operatorname {det} ({C}_{i})\cdot \operatorname {det} ({D}_{i})=(-\lambda )^{i-1}}

Also gilt

χ A = ∑ i = 1 n ( − 1 ) n + i b i n ⋅ det ⁡ ( B ´ i n ) = ( ∑ i = 1 n − 1 ( − 1 ) n + i ( − a i − 1 ) ⋅ ( − λ ) i − 1 ) + ( − 1 ) 2 n ( − a n − 1 − λ ) ⋅ ( − λ ) n − 1 = ( ∑ i = 1 n ( − 1 ) n ( a i − 1 ) ⋅ λ i − 1 ) + ( − 1 ) n ⋅ λ n = ( − 1 ) n ( ( ∑ i = 1 n − 1 a i λ i ) + λ n ) = ( − 1 ) n ⋅ f {\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{A}&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{n+i}b_{in}\cdot \operatorname {det} ({\acute {B}}_{in})\\&=\left(\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{n+i}(-a_{i-1})\cdot (-\lambda )^{i-1}\right)+(-1)^{2n}(-a_{n-1}-\lambda )\cdot (-\lambda )^{n-1}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}(-1)^{n}(a_{i-1})\cdot \lambda ^{i-1}\right)+(-1)^{n}\cdot \lambda ^{n}\\&=(-1)^{n}\left(\left(\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}\lambda ^{i}\right)+\lambda ^{n}\right)\\&=(-1)^{n}\cdot f\\\end{aligned}}}

Begleitmatrizen treten in der Normalformtheorie auf. Die Existenz der Frobenius-Normalform besagt, dass jede Matrix ähnlich zu einer Blockdiagonalmatrix ist, deren Blöcke Begleitmatrizen sind.

1. ↑ Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. de Gruyter, Berlin 2003, ISBN 3-11-017963-6, S. 349. 
2. ↑ Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6, S. 147 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
3. ↑ Kenneth Hoffman, Ray A. Kunze: Linear algebra. 2. ed Auflage. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J 1971, ISBN 978-0-13-536797-1. 

Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 6.5.