Antidiagonalmatrix

Als Antidiagonalmatrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Gegendiagonale Null sind. Sie ist also von der Form

A = ( 0 ⋯ 0 q n ⋮ ⋅ ⋅ ⋅ q n − 1 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋮ q 1 0 ⋯ 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&\cdots &0&q_{n}\\\vdots &\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&q_{n-1}&0\\0&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\vdots \\q_{1}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}} .

Eine n × n {\displaystyle n\times n} -Matrix A = ( a i j ) i , j = 1 , … , n {\displaystyle A=(a_{ij})_{i,j=1,\ldots ,n}} heißt antidiagonal, wenn für alle i , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i,j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}} mit i + j ≠ n + 1 {\displaystyle i+j\not =n+1} der ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} -Eintrag Null ist:

i + j ≠ n + 1 ⇒ a i j = 0 {\displaystyle i+j\not =n+1\Rightarrow a_{ij}=0} .

Ein Beispiel einer Antidiagonalmatrix ist

( 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 5 0 0 0 7 0 0 0 − 1 0 0 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&2&0\\0&0&5&0&0\\0&7&0&0&0\\-1&0&0&0&0\end{pmatrix}}} .

Die Determinante von

A = ( 0 ⋯ 0 q n ⋮ ⋅ ⋅ ⋅ q n − 1 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋮ q 1 0 ⋯ 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&\cdots &0&q_{n}\\\vdots &\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&q_{n-1}&0\\0&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\vdots \\q_{1}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}}

ist

det ( A ) = ( − 1 ) ( n 2 ) q 1 q 2 … q n . {\displaystyle \det(A)=(-1)^{n \choose 2}q_{1}q_{2}\ldots q_{n}.}

Falls alle q i {\displaystyle q_{i}} von Null verschieden sind, dann ist A {\displaystyle A} invertierbar und die zu A {\displaystyle A} inverse Matrix ist

A − 1 = ( 0 ⋯ 0 1 q 1 ⋮ ⋅ ⋅ ⋅ 1 q 2 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋮ 1 q n 0 ⋯ 0 ) {\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}0&\cdots &0&{\frac {1}{q_{_{1}}}}\\\vdots &\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&{\frac {1}{q_{_{2}}}}&0\\0&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\vdots \\{\frac {1}{q_{n}}}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}} -

Das Produkt zweier Antidiagonalmatrizen ist eine Diagonalmatrix. Das Produkt einer Antidiagonalmatrix mit einer Diagonalmatrix (oder umgekehrt) ist eine Antidiagonalmatrix.

Antidiagonalmatrizen sind persymmetrisch.