ARCH-Modelle

ARCH-Modelle (ARCH, Akronym für: AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity, deutsch autoregressive bedingte Heteroskedastizität) bzw. autoregressive bedingt heteroskedastische Zeitreihenmodelle sind stochastische Modelle zur Zeitreihenanalyse, mit deren Hilfe insbesondere finanzmathematische Zeitreihen mit nicht konstanter Volatilität beschrieben werden können. Sie gehen von der Annahme aus, dass die bedingte Varianz der zufälligen Modellfehler abhängig ist vom realisierten Zufallsfehler der Vorperiode, so dass große und kleine Fehler dazu tendieren, in Gruppen aufzutreten. ARCH-Modelle wurden von Robert F. Engle in den 1980er Jahren entwickelt. Im Jahr 2003 wurde ihm dafür der Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften verliehen.

Eine Zeitreihe ( x t ) t ∈ Z {\displaystyle (x_{t})_{t\in \mathbb {Z} }} heißt ARCH(p)-Zeitreihe, wenn sie rekursiv definiert ist durch^[1]

x t = σ t ϵ t σ t 2 = a 0 + a 1 x t − 1 2 + ⋯ + a p x t − p 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}x_{t}&=\sigma _{t}\epsilon _{t}\\\sigma _{t}^{2}&=a_{0}+a_{1}x_{t-1}^{2}+\dotsb +a_{p}x_{t-p}^{2},\end{aligned}}}

wobei a 0 , … , a p {\displaystyle a_{0},\dotsc ,a_{p}} mit a p ≠ 0 {\displaystyle a_{p}\neq 0} reelle, nichtnegative Parameter sind, und der Prozess ( ϵ t ) t ∈ Z {\displaystyle (\epsilon _{t})_{t\in \mathbb {Z} }} aus unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit E ⁡ ( ϵ t ) = 0 {\displaystyle \operatorname {E} (\epsilon _{t})=0} und Var ⁡ ( ϵ t ) = 1 {\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon _{t})=1} besteht.

Für ARCH-Modelle gelten unter der Zusatzbedingung, dass σ t {\displaystyle \sigma _{t}} für alle t ∈ Z {\displaystyle t\in \mathbb {Z} } bezüglich der durch ( ϵ s ) s ≤ t − 1 {\displaystyle (\epsilon _{s})_{s\leq t-1}} erzeugten σ-Algebra messbar ist, die folgenden Aussagen:^[1][2]

• Die auf die Vergangenheit bedingten Erwartungswerte und bedingten Varianzen sind:

E ⁡ ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , … ) = 0 {\displaystyle \operatorname {E} (x_{t}\mid x_{t-1},x_{t-2},\dotsc )=0}  und

Var ⁡ ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , … ) = σ t 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (x_{t}\mid x_{t-1},x_{t-2},\dotsc )=\sigma _{t}^{2}} .

• Eine ARCH(p)-Zeitreihe ( x t ) {\displaystyle (x_{t})} ist genau dann (schwach) stationär, wenn alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms

P ( z ) = 1 − a 1 z − ⋯ − a p z p {\displaystyle P(z)=1-a_{1}z-\dotsb -a_{p}z^{p}}

außerhalb des komplexen Einheitskreises liegen.

• Eine stationäre ARCH(p)-Zeitreihe hat den stationären Erwartungswert E ⁡ ( x t ) = 0 {\displaystyle \operatorname {E} (x_{t})=0} und ihre Autokorrelation verschwindet: Cov ⁡ ( x t , x t + h ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Cov} (x_{t},x_{t+h})=0} für h > 0 {\displaystyle h>0} . Für ihre stationäre Varianz gilt die Formel

Var ⁡ ( x t ) = a 0 1 − ∑ k = 1 p a k {\displaystyle \operatorname {Var} (x_{t})={\frac {a_{0}}{1-\sum _{k=1}^{p}a_{k}}}} .

• Ist ( x t ) {\displaystyle (x_{t})} eine stationäre ARCH(p)-Zeitreihe, für die E ⁡ ( x t 4 ) < ∞ {\displaystyle \operatorname {E} (x_{t}^{4})<\infty } gilt, dann ist der quadrierte Prozess ( x t 2 ) {\displaystyle (x_{t}^{2})} eine AR-Zeitreihe.

Die Idee des ARCH-Modells wurde in verschiedener Weise weiterentwickelt und gehört heute ganz selbstverständlich zu den fortgeschrittenen Methoden der Ökonometrie.

Eine Verallgemeinerung sind die GARCH-Modelle (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity), die 1986 von Tim Bollerslev entwickelt wurden. Hierbei hängt die bedingte Varianz nicht nur von der Historie der Zeitreihe ab, sondern auch von ihrer eigenen Vergangenheit. Zeitstetige Analoga, sogenannte COGARCH-Modelle (continuous-time GARCH), wurden von Feike C. Drost und Bas J. C. Werker sowie Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner und Ross Maller vorgestellt.

• Robert F. Engle: Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of UK. Inflation. In: Econometrica. Vol.: 50, pp. 987–1008, 1982. JSTOR:1912773
• Tim Bollerslev: Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. In: Journal of Econometrics. Vol.: 31 No.: 3, pp. 307–327, 1986. doi:10.1016/0304-4076(86)90063-1
• Jürgen Franke, Wolfgang Härdle, Christian Matthias Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 3. Auflage Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2011, ISBN 978-3-642-16520-7, Kapitel 13, S. 283–342.
• Christian Gouriéroux: ARCH Models and Financial Applications. Springer, New York 1997, ISBN 0-387-94876-7.
• Feike C. Drost, F.C., Bas J. C. Werker: Closing the GARCH gap: continuous GARCH modelling. In: Journal of Econometrics. Vol.: 74, No.: 1, pp. 31–57, 1996. doi:10.1016/0304-4076(95)01750-X
• Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner, Ross Maller: A continuous-time GARCH process driven by a Lévy process: Stationarity and second-order behaviour. In: Journal of Applied Probability. Vol.: 41 No.: 3, pp. 601–622, 2004. doi:10.1239/jap/1091543413 JSTOR:4141341
• Evdokia Xekalaki, Stavros Degiannakis: ARCH Models for Financial Applications. Wiley, New York 2010, ISBN 978-0-470-06630-0.

1. ↑ ^{a b} Jens-Peter Kreiß, Georg Neuhaus: Einführung in die Zeitreihenanalyse. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 3-540-25628-8, S. 298f.
2. ↑ Rainer Schlittgen, Bernd H. J. Streitberg: Zeitreihenanalyse. 9. Auflage. Oldenbourg Verlag, München/Wien 2001, ISBN 3-486-25725-0, S. 450 f.